北京市清华大学附中高考数学复习讲义 第二讲 函数（无答案）.doc

第二讲函数、多项式、方程一、知识扩展 1. 函数方程:含有未知函数的等式. 1) 函数方程的解法:代换法;待定余数法;迭代法;柯西法. 2) 柯西方程:一个定义在有理数集上的实值函数)(xf 对一切有理数 yx, ,都有)()()(yfxfyxf???.则,)( cxxf?这里)1(fc?. 2. 凸函数与琴生不等式: 1)设)(xf 为定义在),(ba 内的函数,对 21,xx?,都有 2 )()(2 2121xfxfxxf ?????????. 则称)(xf 为),(ba 内的下凸函数. (一般凸函数指下凸函数) 2) 如何判断下凸函数若)(xfg?中,)(0)(xfgxf?????为下凸. (若)(xfg?中,)(0)(xfgxf?????为上凹.) 3)对),(ba 内的凸函数)(xf ,有n xfxfxfn xxxf n n)()()( 2121???????????????. (不等号反向,得到凹函数及凹函数的琴生不等式) . 3. 一元三次方程的韦达定理: 设一元三次方程)0(0 23?????ad cxbx ax 的三个根分别为 321,,xxx ,则有????????????????????a dxxx a cxxxxxx a bxxx 321 313221 ) )( )(( 321 23xxxxxxad cx bx ax???????待定系数法即可得到. )( 01 22 11???????????axaxabaxaxf nn nn nn?. 整系数多项式的根. 1) 首项系数为 1 的整系数多项式有理根必是整数根. 2) 整系数多项式的整数根,必是常数项 0a 的约数. 二、例题解析(一)函数性质例1:( 2010 上海交大)函数 32 3211)(xxxxxf???????? Rx?的反函数为例2:( 2008 北京大学)书籍函数. 196 53 196 53 )( 22??????xxxxxf 求:) 50 ()3()2()1(ffff?????例3:( 2007 江苏数学竞赛) 已知 200 21 200 21)(??????????????xxxxxxxf??)(Rx?, 且)1()23( 3????afaaf .则a 的值有( ) D. 无数个例4: (学生完成, 2007 江西联赛)设 x xxf???1 1)( ,又记)()( 1xfxf?.??,,2,1,)()( 1????kxffxf kk 则?)( 2007 xf x??1 1 1??x x 1?练****1. 求函数 113 63)( 2424???????xxxxxxf 的最大值. ?, ,且满足??????????????1)1(2013 )1( 1)1(2013 )1( 3 3yy xx ,求???yx (二)函数与方程例5:( 2009 复旦大学) 定义在 R 上的函数)(xf)1(?x 满足xx xfxf??????????? 4015 1 2002 2)( 则?) 2004 (f 例6:( 2010 上海交大))0( ).()()()(???????fyxfyx xyyfxf 求)(xf 的解析式. 练****4. 解方程:???? 0113 12