2007年高考数学易错题举例解析.doc

蓄势待发,一鸣惊人! 祝同学们 2007 年高考成功! 第 1 页(共 17 页) 2007 年高考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论, 却很容易被忽略。也就是在转化过程中, 没有注意转化的等价性, 会经常出现错误。本文通过几个例子, 剖析致错原因, 希望能对同学们的学****有所帮助。加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形,导致错误。 x >0 y >0 ? x+y >0 xy >0 ,但 x >1 y >2 与 x+y >3 xy >2 不等价。【例1】已知 f(x)=ax+ xb ,若,6)2(3,0)1(3?????ff 求)3(f 的范围。错误解法由条件得????????????62 23 03ba ba②①②× 2-①15 6??a ③①× 2-②得3 233 8???? b④③+④ 43 )3(3 10 ,3 43 3 33 10?????f ba即错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数 b xax xf??)( , 其值是同时受 ba和制约的。当a 取最大(小) 值时,b 不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有?????????2 2)2( )1(baf baf , 解得: )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[3 1ffbffa????).1(9 5)2(9 16 3 3)3(ff baf?????把)1(f 和)2(f 37 )3(3 16??f 在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。第 2 页(共 17 页) ●忽视隐含条件,导致结果错误。【例2】(1)设??、是方程 062 2????k kxx 的两个实根,则22)1()1(?????的最小值是不存在)D(18 )C(8)B(4 49 )A(?思路分析本例只有一个答案正确, 设了 3 个陷阱, 很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得: ,6,2????kk ????.4 49 )4 3(4 2)(22)( 1212)1()1( 2 2 2222???????????????????k ????????????有的学生一看到 4 49 ?,常受选择答案( A )的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。?原方程有两个实根??、,∴0)6k(4k4 2??????.3k2k???或当3?k 时, 22)1()1(?????的最小值是 8; 当2??k 时, 22)1()1(?????的最小值是 18。这时就可以作出正确选择,只有( B )正确。(2) 已知(x+2) 2+ y 24 =1, 求x 2 +y 2 的取值范围。错解由已知得 y 2=- 4x 2- 16x - 12 ,因此 x 2 +y 2=- 3x 2- 16x - 12= - 3(x+ 3 8 ) 2+3 28 , ∴当 x=- 83 时, x 2 +y 2 有最大值 28 3 ,即 x 2 +y 2 的取值范围是(-∞, 28 3 ]。分析没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。事实上,由于(x+2) 2+ y 24 =1?(x+2) 2 =1- y 24 ≤1?-3≤x≤-1, 蓄势待发,一鸣惊人! 祝同学们 2007 年高考成功! 第 3 页(共 17 页) 从而当 x=-1时x 2 +y 2 有最小值 1。∴x 2 +y 2 的取值范围是[1, 28 3 ]。注意有界性:偶次方 x 2≥0 ,三角函数- 1≤ sinx ≤1, 指数函数 a x >0 ,圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。【例3】已知: a>0 , b>0 , a+b=1, 求(a+ 1a ) 2 +(b+ 1b ) 2 的最小值。错解(a+a 1 ) 2 +(b+ b 1 ) 2 =a 2 +b 2+21a +21b +4≥ 2ab+ ab 2 +4≥4ab ab 1?+4=8, ∴(a+a 1 ) 2 +(b+ b 1 ) 2 的最小值是 8. 分析上面的解答中,两次用到了基本不等式 a 2 +b 2≥ 2ab ,第一次等号成立的条件是 a=b= 2 1 , 第二次等号成立的条件是 ab=ab 1 , 显然, 这两个条件是不能同时成立的。因此, 8 不是最小值。事实上, 原式=a 2 +b 2+21a +21b +4=( a 2 +b 2 )+( 21a +21b )+4=[(a+b) 2- 2ab]+[( a 1 +b 1 ) 2-ab 2 ]+4 = (1- 2ab)(1