2014肇庆一模理数.doc

高三数学（理科）
肇庆市中小学教学质量评估
2014届高中毕业班第一次模拟考试
数 学（理科）2014-10-29
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹前n项和，求；
（3）设，证明：.
20．（本小题满分14分）
设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AB方程；
（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
21．（本小题满分14分）
设函数.
（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
高三数学（理科）
（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值.
肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
D
B
C
A
二、填空题
9． 10． 11．16 12．
13．33 14． 15．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）∵，，，
∴，即函数. （3分）
（2） （6分）
（3）∵，
又，∴，即. （7分）
∵，∴. （8分）
∴， （9分）
高三数学（理科）
. （10分）
∴ （11分）
. （12分）
17．（本小题满分13分）
解：（1）由题意得，分数在之间的频数为2， 频率为，（1分）
所以样本人数为（人） （2分）
的值为（人）. （4分）
（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为. （6分）
由（1）知分数在之间的频数为4，频率为 （7分）
所以频率分布直方图中的矩形的高为 （8分）
（3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为人，所以的取值为0，1，2. （9分）
，，，（10分）
所以的分布列为：
0
1
2
（11分）
所以的数学期望为 （13分）
高三数学（理科）
18．（本小题满分13分）
方法一：
依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
因为＝4，所以A（0，0，0），
B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），
B1（4，0，4）. （1分）
（1），，. （2分）
因为，所以，即. （3分）
因为，所以，即. （4分）
又AD、AEÌ平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面. （5分）
（2）由（1）知为平面AED的一个法向量. （6分）
设平面 B1AE的法向量为，因为，，
所以由，得，令y=1，得x=2，z=-.（7分）
∴， （8分）
∴二面角的余弦值为. （9分）
（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）
由，，得. （11分）
由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）
所以. （13分）
方法二：
高三数学（理科）
依题意得，平面ABC，，，
，.
（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∵B1B⊥平面ABC，ADÌ平面ABC，∴AD⊥B1B.
BC、B1BÌ平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.
又B1DÌ平面B1BCC1，故B1D⊥AD .