有限元分析法.pdf

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消除黑匣子综合症，同时也是
对固体力学的基本分析方法作一总结。

桁架的矩阵分析法
在模块 5 中，比较充分地讨论过铰接的桁架，这为引入有限元分析的概念提供了很好的
途径。对桁架精确地进行静力学分析，即使是复杂的桁架，其方程也能集成为矩阵形式，以
便于用数值方法求解。此法有时称为“矩阵分析法”，它为早期有限元分析法的发展奠定了
基础。
桁架的矩阵分析法逐一考虑每根杆件的刚度，然后用这些刚度来确定由于节点（在有限
元分析中通常称为结点）位移而产生的杆件力。注意到每根杆件对结点作用力的矢量和必须
等于作用在结点处的外力，我们可以列出一系列线性代数方程。在这些方程中，结点位移是
未知量而作用在结点上的力是已知量。这些方程可以方便地写成如下的矩阵形式（该方法亦
由此得名）：

式中， ui 和 f j 分别表示第 i 个结点的位移和作用在第 j 个节点上的力（实际上这些量都是
矢量，其分量沿各坐标轴）。系 数 Kij 数组称为整体刚度矩阵，其 第 ij 分量的物理意义是第 j
个位移对第 i 个力的影响。该矩阵方程可简写为
式中，用下标或黑体字表示矢量和矩阵。
开始时，每个结点所受的外力或结点的位移这两者中有一个是已知的，但对一个给定
的结点，同时指定任意的位移和任意的外力是不可能的。这些预先给出的结点力和结点位移
是问题的边界条件。矩阵分析的任务就是要确定与给定的位移相对应的力、以及结点处有已
知外力作用时的位移。

单根桁架杆件的刚度矩阵

为了得出描述桁架系统的矩阵方程，第一步是需要建立单根桁架杆件每一端的力与位
2移之间的关系。考虑如图 1 所示在 x − y 平面内的杆件，该杆件连接第 i 个和第 j 个结点，
与水平线的夹角为θ 。

图 1 单根桁架杆件

沿杆件轴向及垂直于轴线的方向研究杆件待求的伸长量δ ，δ 可用杆件两端点的位移
之差来表示：

式中，u 和 v 分别为位移的水平及垂直分量（图 1 中画出的第 i 个结点的两个位移分量都是
负的）。上式可写成矩阵形式：

式中， c = cosθ 、 s = sinθ 。


图 2 结点力的分量

对线弹性体，与伸长量δ 对应的轴向力 P 可由胡克定律得出，即 P =（AE / L）δ 。水平
和垂直的结点力如图 2 所示。这些关系可写成总轴向力的形式：


进行矩阵乘法运算后得：
3方括号中的量乘以 AE / L 后，称为“单元刚度矩阵” Kij 。其每一项均有物理意义，表
示某个位移对某个力的贡献。