2023年高考试题——数学理(全国卷1)原卷及解析.doc

2023年高考试题——数学理(全国卷1)原卷及解析
3
年级： 班别： 姓名： 考场； 考号；
2023年普通高等学校招生全国统一考试
理科
5
D
B
C
A
A．96 B．84 C．60 D．48
第二卷
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．13．假设满足约束条件那么的最大值为 ．
14．抛物线的焦点是坐标原点，那么以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．在中，，．假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率 ．
16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，那么所成角的余弦值等于
6
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．〔本小题总分值10分〕
设的内角所对的边长分别为，且．
〔Ⅰ〕求的值；
〔Ⅱ〕求的最大值．
18．〔本小题总分值12分〕
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
〔Ⅰ〕证明：；
〔Ⅱ〕设与平面所成的角为，求二面角的大小．C
D
E
A
B
19．〔本小题总分值12分〕
函数，．
〔Ⅰ〕讨论函数的单调区间；
8
〔Ⅱ〕设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．〔本小题总分值12分〕
5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．假设结果呈阳性那么说明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；假设结果呈阴性那么在另外2只中任取1只化验．
〔Ⅰ〕求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
〔Ⅱ〕表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．〔本小题总分值12分〕
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为
8
，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．成等差数列，且与同向．
〔Ⅰ〕求双曲线的离心率；
〔Ⅱ〕设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．〔本小题总分值12分〕
设函数．数列满足，．
〔Ⅰ〕证明：函数在区间是增函数；
〔Ⅱ〕证明：；
〔Ⅲ〕设，整数．证明：．
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学〔必修+选修Ⅰ〕
答案与解析：
. 由得；
，匀速行驶，减速行驶结合函数图象可知.
3. A.,
4. D
．
6. B.
10
7. D.,
． ，只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.
．由奇函数可知，而，那么，当时，；当时，，又在上为增函数，那么奇函数在上为增函数，.
．由题意知直线与圆有交点，那么.
另解：设向量，由题意知
由可得
．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，那么，棱柱的高〔即点到底面的距离〕，故
10
与底面所成角的正弦值为.
另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为
长度均为，平面的法向量为,
那么与底面所成角的正弦值为.
：种两种花有种种法；种三种花有种种法；.
13题图
另解：按顺序种花，可分同色与不同色有
：9．如图，作出可行域，
作出直线，将平移至过点处
时，函数有最大值9.
14. 答案：
为坐标原点得，，那么
与坐标轴的交点为，那么以这三点围成的三角形的面积为
11
：.设，那么
16题图〔1〕
，.
：.设，作
，那么，为二面角的平面角
，结合等边三角形
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，那么
,
故所成角的余弦值
16题图〔2〕
另解：以为坐标原点，建立如下图的直角坐标系，
那么点,
,
那么,
故所成角的余弦值.
12
：〔Ⅰ〕在中，由正弦定理及
可得
即，那么；
〔Ⅱ〕由得
当且仅当时，等号成立，
18题图
故当时，的最大值为