新考研数学二真题解析完整版.docx

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新考研数学二真题解析
2005年考研数学二真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分， 具有一阶导数，则必有
(A) . （B） .
(C) . (D) . [ B ]
【分析】 先分别求出、、，再比较答案即可.
【详解】 因为，
，
于是 ，
，
，
可见有，应选(B).
（12）设函数则
x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]
【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
且 ，所以x=0为第二类间断点；
，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).
（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]
【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.
【详解】 方法一：令 ，则
， .
由于线性无关，于是有
当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).
方法二： 由于 ，
可见，线性无关的充要条件是故应选(B).
（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则
交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.
(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.
[ C ]
【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.
【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即
,可见应选(C).
三 、解答题（本题共9小题，、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分11分）
设函数f(x)连续，且，求极限
【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.
【详解】 由于,于是
==
==
（16）（本题满分11分）
如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程
【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积，再根据建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.
【详解】 如图，有
，
，
由题设，得 ，
而，于是
两边对y求导得 ，
故所求的函数关系为：
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.
【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2,
由分部积分，知
=
=
（18）（本题满分12分）
用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.
【分析】 先将转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.
【详解】 ，
，
代入原方程，得 .
解此微分方程，得 ，
将初始条件代入，有. 故满足条件的特解为
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)