李雅普诺夫判据.docx

一、背景介绍
从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系 统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及 外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅 普诺夫第二法
>11 P12 P】3、
设？= P：1 P22 P?3，Q=I，
< P31 P32 P33 >
将上式带入ArP + PA=-I中可以求出P。
A=[-1,2, 1;-2, 0, 1；-1, -1, 0];
B=[1 0 0]':
C=[l 1 1]';
D= 0;
Q=eye (3);
P=lyap(A\0)
- - -
P= - -
- -
由于Ai<0,由希尔维斯特判据可知，P (即V(x))不是正定的，所以原系 统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。
2、设计稳定器U
正定标量函数为：V(x) = xf+E+£，
沿任意轨迹求V(x)的对时间的导数为：V(x) = 2Xo x2+ 2x3 ,
& = 2为 + 2x3 + x3 + u
其中将系统方程改写为，x2 = -2Xi + x3 , 为=一而一 X?
得到：V(x) = 4* + 2%u,
要使得系统是稳定的，则必须要使寸(x)恒小于0 (为负定)，
取u = -4内,
可得寸(x) = -2蚌<0,满足条件。
仁2 2 1、
代入原系统状态方程，则A=-2 0 1
-1 -1 0>
将上式带入ArP + PA=-I中可以求出Po
- -
P= - - , Ai >0,A2 >0,A3 >0,贝lj V(x)为正定。
-
通过以上的计算可知施加控制器U = -4为后，经校正后的系统是稳定的。
3、结构图
在Mat 1 ab中利用simulink搭建框图进行仿真。
X1X2X3 偷
图1
输入输出波形如下：

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