初中平面几何中的定值问题.doc

初中平面几何中的定值问题
平面几何中的定值问题
开场白:同学们,动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题,下面我们来看几道题:
【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1,P是斜边BC上的一动点,过
P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则。方法1:特殊值法:把P点放在特殊的B点或C点
或BC中点。此种方法只适合小题。
方法2:等量转化法:这是绝大部分同学能够想到的
方法,PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。
方法3:等面积法:连接AP,S?ABC?S?ABP?S?APC?AB?AC?AB?PE?AC?PF ?AB?PE?PF
总结语:这虽然是一道动态几何问题,难吗?不难,在解决过程中(方法2抓住了边长AB 的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系;方法3抓住了面积的不变性),使得问题迎刃而解。设计:大部分学生都能想到方法2,若其他两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答(赛比艳,艾科)
(设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。)
过渡:这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决?请看:
【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形,且两腰AB=AC=5,底边BC=6,
过P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则 PE+PF还是定值吗?若是,是多少? 若不是,为什么? 方法1:三角形相似进行量的转化
?ABM??PBE??PCF
AMPEPFAM?PBAM?PC????PE?,PF? ABPBPCABAB
AM(PB?PC)AM?BC4?624?PE?PF???? (板书) ABAB55(M为BC中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线是常作的辅助线,抓住这条线的长度是不变量这个特点,建立PE,PF与AM之间的联系,化动为静)
方法2:等面积法:
S?ABC?S?ABP?S?APC?BC?AM?AB?PE?AC?PF
?PE?PF?BC?AM6?424??(M为BC中点) (板书) AB55
(解题要点:抓住三角形面积是个不变量,用等面积法求解,这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。)
(若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西是什么?不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系,能不能用一个等式来表示?
学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量。
(设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法)
(教师行为:出示题之后,让学生做,教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答,然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。)
问:我把题中的5改为a,6改为b,PE+PF还是定值吗?你能求出这个定值吗? 答:是定值,求解方法不变。
问:由这题,你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗? 结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=
b
?h(a为腰长,b为底边a
长,h为的边上的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况)