倒立摆机器人系统的数学模型描述.docx

倒立摆机器人的模型
。
倒立摆动力学模型示意图
参数说明
参数名称
参数定义
主动臂的长度
主动臂相对于连接点到质心的距离
欠驱动臂相对于连接点到质心的距离
主动臂相对于坐标轴的角度
欠驱动臂相对于主动臂的角度
主动臂相对于质心转动惯量
欠驱动臂相对于质心转动惯量
主动臂质量
欠驱动臂质量
重力加速度

拉格朗日动力学方程
拉格朗日方程以广义坐标为自变量,通过拉格朗日函数来表示。拉格朗日体系分析力学处理问题时以整个力学系统作为对象,用广义坐标来描述整个力学系统,着眼于能量概念。对于机械系统,其拉格朗日函数都可以定义成该系统动能和势能之差,即:
()
系统的动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示。系统的动力学方程(第二类拉格朗日方程)为:
()
由于势能不含速度项,因此动力学方程也可以写成:
()
由此可见,对于Pendubot系统,其拉格朗日运动方程则为:
()
其中,为Pendubot系统的动能之和,为Pendubot系统的势能总和。摆臂受到的力矩为,只有摆臂与电机相连接的主动关节受力,而另一个关节是欠驱动的。由于两杆均为刚体,所以摆臂的动能与势能可根据每一根杆的总质量与相对于重心的惯量来唯一确定。
欠驱动机械臂动力学模型
根据式(),分析Pendubot摆臂的动能和势能。计算平移动能的一般表达式为。由上图可知,系统两个摆臂的角速度可以表示为:
()
对于系统的主动臂,其平移动能可以直接描述成以下形式:
()
由于系统的势能大小与机械臂的质心位置有关系,这里可以用y坐标来表示摆臂的其位置高度,于是势能可以直接描述为:
()
对于系统的欠驱动臂,要先得到其质心位置的笛卡儿坐标表达式,然后通过微分处理得到关节角速度。其中,欠驱动臂的质心位置用下式来表示:
()
那么,通过对该位置进行微分处理,即可得到其速度的笛卡儿坐标分量为:
()
于是可得欠驱动臂在和方向上速度分量的平方和为:
()
因此,系统欠驱动臂的平移动能可以表示为:
()
由于摆臂长度是已知的,可以得到欠驱动臂的势能为:
()
同时,由于Pendubot系统运动的特殊性,这里注意到系统的动能组成中,除了常规的平移动能外,还存在旋转动能部分,那么根据式()可以得到系统的旋转动能为:
()
根据式()给出的拉格朗日算子的描述方法,可以由上述系统动能和势能的关系得到Pendubot系统的拉格朗日算子,表示为:
()
为了得到系统的动力学方程,根据式,对上式做关于和的微分处理,可得:
()
由以上的各微分项,根据第二类拉格朗日方程,本文可以直接得到系统中主动臂的关节力矩表达式为
()
将式()对和求微分,得到欠驱动臂的关节动力学方程:
()
于是可以得到欠驱动臂的关节动力学方程为:
()
可以将式()和式()简化描述成如下形式:
()
其中各项可表示为:
上式中的各个参数表达式如下:


这里需要注意的是,