关于常微分方程配置方法的总结.docx

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常微分方程配制方法当然离不开配置解,那我们就来谈谈配置解的一些特
性,在区间I上定义的一个泛函方程(例如:常微分方程或者是一个沃尔泰拉积分方程)的配置解u,它是一些有限维泛函空间(配置空间)的一个元素,h
其中I是配置点的集合,这个配置解满足于在区间I上的一个适当的有限子集上的方程,并且这个配置解的维数在本质上等同于这个配置空间的维数。如果方程的初值条件或者边界条件给出的话,那么这个配置解也就通常要求满足于上面所说的这些条件。
对于边界值问题的近似解的多项式空间或者分段多项式空间的应用起源于二十世纪三十年代,而对于常微分方程的初值问题的方法如配制方法最早进行系统的研究在二十世纪六十年代末,随后在连续的分段多项式空间中的配置,成为关于隐式高阶的龙格库塔尼斯特仑法的重要的一类。
下面我们来介绍常微分方程的分段多项式配置,我们首先考虑初值问题,
y(t)=fC,y(t)),tGI:=[o,T],y(0)=y,假设函数f满足李普希兹条件并且连
0
续,这个处置问题有一个唯一解y,并且y位于区间I上具有一阶导数,在这里,把区间I进行了分割,即I:=b:0二t<tt二T},这个分割没有必要是
hn01N
均匀的,下面是定义了两个子集以及这个分割的直径,在时步长里面,这个直径我们把它叫做步长,现在我们最关心的就是这个唯一解的求法,当然,此时我们可以把初
值问题的解,用u来近似代替,其中U是分段多项式空间
s(0)(/
mh
hh
vGC(I):vb厂(0<n<N-l)i中的元素,而这个近似值可以通过
m
配置方法来找到,那么什么是配置呢,也就是这个近似值满足于在给定的适当的有限子集上的方程,并且和这个方程的准确解具有共同的初值条件,很清楚这个子集的定义如下:X:={t=t+ch:0<c<...<c<l}(o<n<N-1),
hnin1m
这个适当的子集的维数与配置点的个数都是相同的,为了更加精确,我们可以要求这个子集进行带有参数的替代,当然这里面的配置参数就完全决定了这个
子集,接下来就可以把原来的给定的微分方程用含有配置解的配置方程来替换
配置方程为u(t)=f(t,u(t)),tGX,u(o)=y(o)=y,有了配置方程,为了
hhh0更好的了解分段多项式的配制方法以及证明它的递归性,下面就是对于配置方程的求解,也就是对配制方程的计算形式进行推导。
在推导过程中,首先是来表示配置方程,其中用到了拉格朗日基本公式,
我们用配置参数来表示拉格朗日基本公式,随后得到了配置解的局部表示,这
是一重要的结果,在这个局部表示式中,含有未知的近似值Y,它可以用普
n,j
通的非线性代数方程这个系统的解来定义,而这个非线性代数方程是由配置方程通过设定时间值以及局部表示方程而得到,实际上我们得到的局部表示方程和非线性代数方程,就定义了对于前面所说的初值问题的一种连续隐式龙格库塔尼斯特仑方法,其中局部表示方程是:
u(t+vh)=y+h区Xp(v)y,ve[o,1],非线性代数方程是:
hnnnnjn,j
j=1
aY
ni,jn,j
j=1
而局部表示方程定义了对于在小区间上的某一时刻的近似值
Y=f[t,y+h区
n,i
数系统给出的,
,(i=1,2,,m),它的m阶近似值就是由非线性代
其实这个局部表示可以看做是自然插值法,因此,这样的一个关于前面所述的
初值问题的连续隐式龙格库塔尼斯特仑方法包含了一个嵌入式离散m阶隐式龙格库塔尼斯特仑方法,如果m大于或等于2并且配置参数由小到大排列,最小
的配置参数取做o,最大配置参数的取做1,并且t=t+ch=t,
n,1n1nn
Y=u(t+ch)=u(t)=f&,ut)=f(t,y),那么龙格库塔尼斯特
n,1hn1nhnnhn
仑方法就可以化简成另外一种形式,更进一
我们就可以得到近似值Y
n,m,n,m
nn
由于最大那个配置参数等于1
Y=fty+hbf(t,y)+h区
(n+1,
IR
步,
bY
nn1nnnjn,j
nnj=2
下面紧接着是列举的两个例子,其中的第一个例子是针对m等于1,最小的配置参数等于0时,应用隐式龙格库塔尼斯特仑方法来确定配置解,这个例子是连续一阶龙格库塔尼斯特仑方法,当0取不同的值,属于不同的方法,其中,0等于1时是连续隐式龙格库塔尼斯方法,0等于12时是连续隐式中点方
法,如果0等于0,我们得到的是连续显示欧拉方法,由于在半离散抛物偏微分方程或者是偏微分方程初值解的重要性,所以对于线性常微分方程,我们应
用连续隐式半点法,和梯形法的不同,梯形法是在空间s(0)(/)上配置,
mh并且第一个配置参数等于0,第二个配置参数等于1,这其实是洛巴托点,将在第二个例子当中描述。现在就要论述第二个例子,其中m等于2,第一个配置参数小于第二个配置参数,第一个配置参数大于等于零,第二个配置参数小于等于1,这是一个二阶龙格库塔尼斯特仑方法,通过计算,可以得出配置解所在
的局部表示方程是:u(t+vh)=y+h也(v)Y+P(v)YJVe[o,l],
hn
非线性代数方程是:Y=f
n,i
nnn1n,1
C,y+h{aY+aY
2n,2
J)(i=1,2),这里我
n,i
ni,1n,1
n,2
们又给出了三种重要的特殊情形,第一种是高斯点,第一个配置参数等于
C-爲)/6,第二个配置参数等于(3+06,通过计算,这是一个二阶隐式
龙格库塔尼斯特仑方法;第二种是拉道口点,第一个配置参数等于13,第二个
配置参数等于1,通过计算,这是一个二阶拉道nA方法;第三种就是前面所说
的洛巴托点,第一个配置参数等于0,第二个配置参数等于1,通过计算,这是连续梯形方法。其实基于配置的离散龙格库塔尼斯特仑方法的其它的例子还有,就是当m等于2,第一个配置参数等于零,第二个配置参数等于2;3,这是拉道I点。随后我们又应用连续隐式龙格库塔尼斯特仑方法对线性初值问题进行了计算,当然,并不是每个隐式龙格库塔尼斯特仑方法都可以由上面描述的配制方法得到,一个明显必要的条件就是每个配置参数都是离散的。
最后就是重要的关于隐式龙格库塔尼斯特仑方法的定理两个定理,第一个
是:带有分离参数c,阶数至少是m,由
i
Y=
n,i
't,y+h迟
n,i
aY
nn,jn,jt
nj=1
yU(t+h)=y+h区jn,j(n=0丄…,"-1)定义的m阶隐式龙
n+1hnnnn
j=1
格库塔尼斯特仑方法能够通过在s(0)(/):={eC(I):vbw兀
mh
(0<n<N-1)}里
m
的配置得到,当且仅当关系区aCv-1二二,v=,m)(i二l,...m)成立。第二
i,jjv
j=1
个定理是:假设在线性初值问题方程y(t)=f(t,y(t)),tgI:=[0,T],y(0)=y中0的两个函数a(t),g(t)在区间I上具有m阶导数,关于初值问题的配置解u?和
h配置点X(配置参数从小到大排列,并且最小的配置参数大于等于零,最大h
的配置参数小于等于1)相一致,对任意的h属于0和h之间,每一个线性系统u(t+vh)=y+h星(v)Y+P(v)Y}vg[0,1]
hnnnn1n,12n,2
有唯一解。那么下列估计成立:
y-uh||
:=maxy-u()<Cy(m+1)
8tGlt11
hm和
8
y'_u
:=supy(t)-u'(t)<C
h
8tGl
及每一配置集合X(0<C<...<C<
h1m
y(m+1]hm在h属于0和h之间,以
1)成立,并且常数C依赖于配置参数
v
{},但是不依赖于h,并且h的指数不能由(m+1)来代替。i