广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题.docx

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广东省2021届高三六校第一次联考试题
理科数学
命题学校:深圳实验学校
本试卷共6页,23小题,总分值150分。考试用时120分钟。
考前须知:,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。
,选项出每题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
,答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上;如需要改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
。考试完毕后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:此题共12小题,每题5分,共60分。在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。
,,那么∁
A. B. C. D.
,那么的共轭复数的虚部为
A. B. C. D.
,,那么
A. B. C. D.
,记向量,,那么的
概率为
A. B. C. D.
,直线与双曲线〔〕的左、右两支分别交
于、两点,且、都垂直于轴〔其中、分别为双曲线的左、右焦点〕,那么该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
△中,为的中点,点满足,那么
A. B.
C. D.
,数量单位为,它的体积是
A. B.
C. D.
,
假设存在实数使得对任意实数总有成立,那么的最小值为
A. B. C. D.
,且在上有,
那么
A. B. C. D.
,中点为,且弦的长度为,那么点的纵坐标的最小值为
A. B. C. D.
,,,,,且二面角
的大小为,那么三棱锥外接球的外表积为
A. B. C. D.
,〔常数〕,,那么的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分。
.
,那么的展开式中常数项为.
,一光线从点出发,经轴上一点反射后与圆相切于点,那么的值为.
,那么的单调递减区间是
.
三、解答题:共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
〔一〕必考题:共60分。
17.〔12分〕
在△中,角,,的对边分别为,,,且.
〔1〕求角;
〔2〕假设,,求△的面积.
18.〔12分〕
如图甲,设正方形的边长为3,点、分别在、上,且满足,.如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使得点在平面上的射影恰好在上.
〔1〕证明:平面;
〔2〕求平面与平面所成二面角的余弦值.
19.〔12分〕
某市大力推广纯电动汽车,对购置用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准,:
出厂续驶里程(公里)
补贴〔万元/辆〕
3
4
2021年底随机调査该市1000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程,,频率估计概率,解决如下问题:
〔1〕求该市每辆纯电动汽车2021年地方财政补贴的均值;
〔2〕某企业统计2021年其充电站100天中各天充电车辆数,得如下的频数分布表:
辆数
天数
20
30
40
10
〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕
2021年2月,国家出台政策,、,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案:
方案一:购置100台直流充电桩和900台交流充电桩;
方案二:购置200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2021年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.〔日利润日收入日维护费用〕.
20.〔12分〕
圆与定点,动圆过点且与圆相切.
〔1〕求动圆圆心的轨迹的方程;
〔2〕假设过定点的直线交轨迹于不同的两点、,求弦长的最大值.
21.〔12分〕
函数.
〔1〕求函数在上的值域;
〔2〕假设,恒成立,求实数的取值范围.
〔二〕选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,那么按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程]〔10分〕
在平面直角坐标系中,将曲线向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
〔1〕求曲线的参数方程;
〔2〕点在第一象限,四边形是曲线的内接矩形,求内接矩形周长的最大值,并求周长最大时点的坐标.
23.[选修4―5:不等式选讲]〔10分〕
,.
〔1〕当时,求不等式的解集;
〔2〕假设,且当时,恒成立,求的取值范围.
2021届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案
一、选择题

二、填空题
13. 14. 15. 16.〔注意:写闭区间也给分〕
三、解答题
:〔1〕因为,由余弦定理,得
,所以……………………………………………………2分
,由正弦定理,得
,……………………………4分
又,,所以
,,……………………………………………………5分
所以.……………………………………………………6分
〔2〕由,,得,,……………………7分
所以,………8分
由正弦定理,得
,……………………………………………………10分
所以△的面积为.……………………………12分
:〔1〕在图甲中,易知,从而在图乙中有,
平面,平面,
平面.……………………………………………………4分
〔2〕法一:〔传统几何法〕略解如下:
过点作于,连接,
易证〔略〕,即为所求二面角的平面角,
易求得:,,
,
在中,.……………………………………………………12分
法二:〔向量法〕
如图,在图乙中作,垂足为,
连接,由于平面,那么,
平面,那么,图甲中有,
又,那么、、三点共线.
设的中点为,那么,可证,
,那么,
又由,得,,
于是,,
在中,,………………………………………………8分
作交于点,那么.
以点为原点,分别以、、所在直线为、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,
那么,,,,
那么,,是平面的一个法向量,
易求得平面的一个法向量,…………………………………………10分
设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,
,
所以,平面与平面所成二面角的余弦值为.………………………………12分
:〔1〕依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:
补贴〔万元/辆〕
3
4
概率
……………………………………………………3分
纯电动汽车2021年地方财政补贴的平均数为(万元).
……………………………………………………4分
〔2〕由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
假设采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
(辆〕;……………………………………………………6分
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6000
6600
概率
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元〕;……………………………8分
假设采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆〕;……………………………………………………10分
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6000
7000
7600
概率
于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元).………………12分
:〔1〕设圆的半径为,题意可知,点满足:
,,
所以,,……………………………………………………3分
由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆,且
进而,故轨迹方程为:.……………………………………………5分
〔2〕当直线斜率不存在时,,或,,
此时弦长.……………………………………………6分
当直线斜率存在时,设的方程为:,
由消去得:,
由△得,
设、,可得:
,,……………………………………………………7分
,………9分
令,那么,
,,
当时,此时,.…………………………………………11分
综上,弦长的最大值为.……………………………………………………12分
:〔1〕易知,…………………………………………1分
在上单调递减,,…………………………………………3分
时,,…………………………………………4分
在上的值域为.…………………………………………5分
〔2〕令,
那么,……………………6分
①假设,那么由〔1〕可知,,在上单调递增,
,与题设矛盾,不符合要求;………………7分
②假设,那么由〔1〕可知,,在上单调递减,
,符合要求;…………………………………8分