隐函数存在定理课件.ppt

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显函数:因变量可由自变量的某一表达式
,
隐函数:自变量与因变量之间的对应关系
,
隐函数的一般定义:设有一方程
其中若存在
对任一有唯一确定的与之对应,
使得满足上述方程,则称由上述方程确

果把此隐函数记为
则成立恒等式
,也不一

这与它能否用显函数表示无关.

,
隐函数存在性条件分析
当函数满足怎样一些条件时,由方
程能确定一个隐函数并使
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
(a)把上述隐函数看作曲面
与坐标平面的交线,故至少要求该交集
非空,即存在满足
(b)为使在连续,应要求
在点连续.
(c)为使在可导,即曲线
在点存在切线,而此切线是曲面
在点的切平面与的交线,故应要求
在点可微,且
隐函数存在定理(单个方程情形)
定理1设满足下列条件:
(i)在上连续;
(ii)
(iii)
则(1)在的某邻域内,由方程
唯一地确定了一个定义在
上的隐函数满足
,定理1中的条件仅是存在隐
函数的充分条件,,方程
显然但仍能确定唯一隐函数
另一方面,定理1中的条件又是非常重要的.
例如,(双纽线),
在同样不满足条件(iii),而在该点无论
多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图).
,定理1是一个局部性的隐
,从双纽线图形可以看
出,除了三点以外,曲线上其
余各点处都存在局部隐函数(这不
难用定理1加以检验).
,与的地位是
(iii)改为时,将在
点的局部由方程确定唯一
的隐函数定理1相应的全部结论均
成立.
例1方程能否在原点的某
邻域内确定隐函数或
(1)存在的一个邻域
使得在点的某邻域内,
方程唯一地确定一个定义
在的元隐函数满足
换句话说,存在函数