数学建模竞赛.docx

该【数学建模竞赛 】是由【森林书屋】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【数学建模竞赛 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。个人收集整理 仅供参考学****br/>2012年荆楚理工学院
数学建模竞赛校内选拔赛试卷参考答案
1、(10分)
解:设s(t)为物体下降的规律,物体的质量为 m,由牛顿第二定律:
ma
即mgksms,
或s
ks
g
0.
m
k
c1
t
解之得:s
c2em
gt
2、(10分)
x,y,周长为S
解:设直角三角形的两直角边分别为
则
Sxyl
(x0,y0)
约束条件为:
x2
y2
l2
构造拉格郎日函数F(x,y)xyl(x2
y2
l2)
令
Fx
1
2x
0
Fy
1
2y
0
x2
y2
l2
解得驻点xy
l
2
由实际问题,这就是最大值点
所以,当为等腰直角三角形时,其周长最大。
3、(10分)
解:设船速为x(km/h),依题意每航行1km的耗费为
y
1
(kx3
96)
x
又x
10
时,k103
6故得k
,所以有
y
1(
96),x
(0,)
x
令
y

(x3
8000)
0,得驻点x20
x2
由极值第一充分条件检验得
x
(0,
)上该函数处
个人收集整理 仅供参考学****br/>处可导,且只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为20(km/h)时,每航行1km的耗费最少,
其值为
ymin

202
96

(元)
4、(10分)
20
解:(1)设切线与抛物线交点为(x0,
y0
,
y0),则切线的斜率为
x0
1
又因为y2
x
2上的切线斜率满足
2y
y
1,在(x0,y0)上即
有2y0y
1
所以2y0
y0
1,即2y0
x0
1
x0
1
2
2,解方程组
又因为(x0,y0)满足y0
x0
2y02
x0
1
得
x0
3
y02
x0
2
y0
1
所以切线方程为
y
1(x1)
2
则所围成图形的面积为:
S
1
y2
(2y
1)]dy
1
0
[2
3
(2)图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为:
11
(x
1)
2
dx
3
(x
2)dx
V
04
2
6
5、(10分)
解:根据牛顿第二定律,得
mdv
kv
dt
又
dv
dv
dx
vdv
dt
dx
dt
dx
由以上等式得
dx
mdv
m
k
x(t)
C
积分得
k
v
由于
v(0)
v0,
x(0)
0
故得
m
C
k
v0
个人收集整理 仅供参考学****br/>从而
()
m(
v0
(
))
xt
k
vt
当v(t)
0时
x(t)
mv0

k
所以,
6、(15分)
解 如图所示,设P(x,y)为船在要时刻的位置
此时两个分速度为 dx v2
dt
消去t得dy
v2
v1cos
dx
v1sin
又tan
x
,则sec
x2
y
a
代入得dy
x2
a
y
dx
k
(a
y)2

v1sin
dy
v1cos
(0
),
dt
2
cos
(k
v2)
ksec
1
k
sin
v1
tan
(a
y
y)2
,
a
(路线满足的微分方程)
令ay
ux,
x
u
du
u
dx
1
1
1
1
1
u2
lnc
x
k1u2
,
ku1u2
du积分lnx
ln
lnu
dx
1x
u
k
u
(a
y)
k
ay
由y(0)
0得c
a,化简得x
aay1k
ay1k
]
c
x2
[(
a
)
()
x
(ya)2
2
a
讨论:①当1k
0,.即k
1,v2v1时,则limx
0,可到点B(0,a);
ya
②当1
k
0,即k
1,v2
v1,1
k
2时,则limx
ya
③当1
k
0即k
1,v2
v1,1
k
2时,limx不
ya

a,可达对岸点(a,a)
2 2
不能对达对岸.
7、(15分)
解:(1)
当2x
0,即0
x2
2时
f(x)
kf(x2)
k(x
2)(x2)2
4kx(x2)(x4)
由题设知f(0)0
f
(0)
lim
f(x)
f(0)
lim
x(x2
4)
x
0
x
4
x
0
x
0
f
(0)
lim
f(x)
f(0)
limkx(x
2)(x4)
8k
x
0
x
0
x
0
x
令f
(0)
f
(0),得k
1
2
1
即当k ,f(x)在x 0处可导
2
8、(20分)
第1步,直观分析曲线所围图形.
个人收集整理 仅供参考学****br/>通过观察,我们发现牛能吃到草的范围是如下图所示的阴影部分.
由题意知绳长为πr,?当绳子缠住围栏的时候,
为D,其弧AC与线段CD的长度之和为πr﹙绳子的长度﹚,而曲线即所有这种点所形成的轨迹.
第2步,利用初等平面解析几何将D点轨迹描述出来.
取围栏的中心为原点O,令OB与OC的夹角为θ﹙如下图﹚,于是C点坐
标为(rcos,rsin ),而CD是点C处圆的切线段,于是根据平面解析几何
的知识,有OCCD0
,所以可设CDk(sin
,
cos),k
>0为待定常

BC的长度,于是|CD|
r
,解得k
r.
所以D点坐标为:
(rcos,rsin )+r (sin , cos)=(r(cos sin ),r(sin cos)).
于是得到D点轨迹参数方程为
个人收集整理 仅供参考学****br/>x
r(cos
sin
),
π)
(*)
y
r(sin
cos
(0
).
这刚好是圆的渐伸线.
第3步,分块计算所围图形的面积.
我们先计算参数方程(*)下方图形的面积S,如下图中阴影部分所示.
S
0
cos)d(r(cos
sin))
r(sin
π
π
cos)r
cos
d
0
r(sin
r2[
π
sin
cosd
π2(cos)2d]
0
0
r2[1
π
sin(2)d
2
0

π
2(
1cos(2))d]
0
2
r2[1
π
sin(2)d
2
0

1
π2d
2
0

1 π 2
20

cos(2)d]
r
2
1
π
[
sin(2)d
2
0

1
3π
1
6
0
4

π
0

2dsin(2)]
r2[1
π
sin(2)d
2
0

1
3
1
6
π
(
4

π
2sin(2)0π 2 sin(2)d)]
0
r
2
[
π
sin(2
)d
1
3
0
6
π]
1
13
r
2
[
π
2
d(cos(2))
π]
0
6
r
2
[
1
π
π
13
(cos(2)0
cos(2)d)
π]
2
0
6
1
1
3
r
2
π
2
π
.
r
2
于是,由图形的对称性可得
牛吃草的范围=上下两块S+左半圆所围图形面积-围栏所围住的面积
1
3
21
πr
2
π(πr)2
πr
2
5
32
.
2(
πr
2
)
6
πr
6
2
个人收集整理 仅供参考学****br/>