泛函解析总结计划习题标准.docx

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薂肇
蚁莂
艿羃
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第二章胸襟空间
作业题答案提示
1、
试问在R上,
x,y
xy
2
能定义胸襟吗?
答:不可以,因为三角不等式不成立。如取
则有x,y
4,而x,z
1,z,x
1
2、
试证明:(1)
1
(2)
x
y在R上都定
x,y
xy2;
x,y
1x
y
义了胸襟。
证:(1)仅证明三角不等式。注意到
1
1
2
xy
xzzy
xz2
zy2
1
1
1
故有xy2
x
z2
zy2
(2)仅证明三角不等式
易证函数
x
x
在R
上是单调增添的,
1
x
所
以有
ab
ab
,
从而有
a
b
a
b
a
b
1a
b1
a
1b
1a
b
令x,y,z
R,令azx,byz
即
y
x
z
x
y
z
yx
1
z
x
1y
z
1
1
a,b上,
(,
)
b
)
()
()
(
dt

xy
xt
yt
a
定义了胸襟。
证:(1)(x,y)
0
x(t)
y(t)
0(因为x,y是连续函数)
(x,y)
0及(x,y)
(y,x)明显成立。
(2)(x,y)
b
x(t)
y(t)dt
a
b
z(t)dt
z(t)
y(t)dt
x(t)
a
b
z(t)dt
b
y(t)dt
x(t)
z(t)
a
a
(x,z)
(z,y)
-Schwarz不等式证明
n
2
n
2
xi
n
xi
i
1
i1
n
2
n
n
n
证:
xi
2
12
n
2
xi
xi
i1
i1
i1
i
1

R1,
1和R1,R2的Descartes
积
RR1R2上定义了胸襟
(1)
2
2
1/2
~
max
1,2
12;(2)~(1
2)
;(3)~
证:仅证三角不等式。(1)略。
(2)设x(x1,x2),y(y1,y2)R1R2,则
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1
(x,y)[12(x1,y1)
22(x2,y2)]2
2
2
1
2
12(x1,z1)
12(z1,y1)
22(x2,z2)
22(z2,y2)
1
1
12(x1,z1)
12(z1,y1)2
22(x2,z2)
22(z2,y2)2
n
1
n
1
n
1
2
2
2
2
(x,z)
(z,y)
2
2
i
i
i
i
i
1
i1
i1
(3)(x,y)max{
1(x1,y1),
2(x2,y2)}
max{1(x1,z1)
1(z1,y1),
2(x2,z2)
2(x2,z2)}
max[1(x1,z1)
1(z1,y1)]
max[2(x2,z2)
2(x2,z2)]
(x,z)
(z,y)
9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么?
C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集
合。
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10、试考虑

C[0,2

]并确立使得

y

B(x,r)的最小

r,此中
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。
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(x,y)sup
sintcost
sup
2sin(t
)
2
t[0,2
]
t[0,2
]
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,每个子集既是开的又是闭的。
设A是失散胸襟空间X的任一子集。
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aA,开球

B(a,

1)

{a}

A,故

A事开集。
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相同道理,知

AC是开的,故

A

(AC

)C又是闭集。
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,试证明x0的任何邻域都含有M的无穷
多个点。
证:略。
13.(1)若胸襟空间R中的序列{xn}是收敛的,并且有极限x,试证明{xn}的每个子序列{xnk}都是收敛的,并且有同一极限。
(2)若{xn}是Cauchy序列,并且存在收敛的子序列
{xnk},
xn
x,试证明{xn}也是收敛的,并且有同一极限。
k
(1)略
(2)
,
N
,当mnk
N时,有
,
(xm,xnkl)
,(xnkl,x)
({xn}是Cauchy序列且xnk
x)
2
2
所以,当
m
N时,
(xm
,x)(xm,xn)
(xn
kl
,x)
kl
2
2
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:Cauchy序列是有界的.
证明:若xn是Cauchy序列,则存在
,使得对于全部nn0,
有xn,xn0
1,所以,对于全部n,有
xn
,xnmax1,x1
,xn,...,
xn
1,xn
0
0
0
0

和yn
都是胸襟空间
x中的Cauchy列,试证明:
xn,yn是收敛的。证:依据三角不等式,有
nxn,ynxn,xmxm,ymym,yn
xn,xmmym,yn
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故,

n

m

xn,xm

ym,yn
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相同有:

m

n

xn,xm

ym,yn
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即:nmxn,xmym,yn0
而R是齐备的,则n是收敛的。
,并且MX是闭的,试证明M也是紧的。
证明:因为X是紧的,故M中任一序列
xn有一个在Xn中收敛的
子序列xnk。不如设xnk
xX,则有x
M。又因M是闭的,所
以xM,所以M是紧的。
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第三章线性空间和赋范线性空间

2
1
n
n
2
(1)x
1
xi;(2)x2
xi
;(3)xmaxxi;
i1
i
1
i
1
2
n
2
是范数吗?
x
xi
i1
(1)、(2)和(3)的证明略
1
2
n
2
不是范数,不满足三角不等式。
x
xi
1
认为例,令x1,0,y0,1则xy1,xy4
(1)C、C0和l0都是l的线性空间,此中C是收敛数列集;C0是收敛数列0的数列集;l0是只有有限个元素的数列集。
2)C0还是l的闭子空间,从而是齐备的。
3)l0不是l的闭子空间。
证明:
(2)设x
x1,x2,...C0
,xnx1
n,x2
n,...,使得
xnxn
.则有任意的
0,N使得对于全部j,
当,时有,又因为,所以当时
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从而有
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于是,故
,级数的收敛性,其实不包含
级数的收敛性。
令,则,且
于是,收敛
但
设是赋范线性空间,若级数的绝对收敛性包含着级数的收敛性,则是齐备的。
证:设{Xn}是X中任一Cauchy列,则kN,nk,,
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nnk时,

Sn

-Sm

2k。
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并且对全部的k,可采用nk1>nk,从而{Snk}是{Sn}的一个子列,
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并且令X1=Sn1,Xk=Sn-Snk,则{Snk}是级数Xk的部分和序列,从
而
Xk
SkSk1X1X1
2(k1)
X11
k2
k2
于是Xk绝对收敛,故Xk收敛。
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不如设

Snk

SX,因为

{Xn}是

Cauchy

列,故
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Sn

S

Sn

Snk

Snk

S

0
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又因为{Sn}是任意的,故证明X是齐备的。
设(X,1)和(X,2)是赋范线性空间,试证明其Descarts
积X=X1*X2在定义范数X=max{X11,X22}后也成为赋范线性空间。
证:(1)X=0X11=X2
2=0
X=(0,0)=
(2)X=max{X11
,
X22}=max{X11,X22}=X
(3)设X=(X1,X2),y=(y1,y2),则
xymax{x
1
y
1
x
y
2
}
1,2
2
max{x11
y1
1,x22
y22}
max{x11,x22
}max{y11,y22}
xy
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20.(1)若

和0是

X上任意两个等价范数,试证明(

X,

)
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和(X,

0)中的

Cauthy

序列相同
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(2)试证明****题证:设{Xn}是(X,

10中的三个范数等价
)中的任一Cauthy

序列,即
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,NN,当n,m>N时,xn-xm
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因为和

0是

X上任意两个等价范数,所以存在正数

a,b
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使

a

0

b

(*)
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于是当

n

m>N时,有
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xn

xm0

bxn

xm

b
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即xn是(X,

0)中的

Cauthy

序列。
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反之,若

{x

n}是(X,

0)中的

Cauthy

序列,则由(

*)左
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边不等式,可证{xn}
是(X,)中的Cauthy序列。
(2)Rn是有限维赋范线性空间,其上的范数都是等价的。
20(2)的直接证明:
证明在中,范数
1、
2和
等价,此中
n
n1
maxx
x1
xi;x2(
xi2)2;x
i1
i1
i
i
2
2
证1
xi
maxx
,
i
i
x
x2
nx
,
故2和等价。
2由Cauchy-Schwart不等式,得,
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n
n
x2
1
n1
n
1
x
i
(
)2(1)2
n(
x
2)2
i1
i1
i
i
1
i1
i
故有
x1
nx2
再有
n
1
n
1
x
2
(
x
2)2
[(x)
2]2
x
1
i1
i
i
i1
我们得
1
x
1
x2
x1
n
故1与2等价
:DTY是可逆的线性算子,x1,...,xn是线性没关的,
试正明Tx1,...,Txn也是线性没关的.
证:若存在λ1,...,λn∈Ф且不全为零,使得
1Tx1...nTxn0,
则因为T1存在且为线性的,故
T11Tx1...nTxn1x1...nTxn0,
与x1,...,xn线性没关矛盾。
,试证明对满足x1的任意xDT,都
有TxT.
思路:由TxTx即证结论。
:
∞
→
∞
使得Tx
x1,
x2
,...,试证明
2
TBl,l.
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证:设xx1,x2,...,xn,...,yy1,y2,...,yn,...,则
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