对一道数学高考题的多角度思考 数学高考题.pdf

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【摘要】本文研究了一道函数最大值的求解,从不同的角
度进行了详细剖析以及对各种方法的教学进行了探究.【关键
词】换元;不等式;导数;向量数学高考题,由于其内在的规
律,或由于思考的角度不同,
教学中,教师应自觉探求多种解法,这样可以使我们的学生的
基础知识、基本技能得到训练,能力得到增强,智力得到开发.
在寻求多种解法时,要防止乱碰,而应注意分析,使问题的解
,探究其解法的多样性.
(2008年重庆高考题第5题)函数y=1-x+x+3的最大值
是.
解法1平方法.
y2=1-x+x+3+2(1-x)(x+3)(-3≤x≤1)
=4+2-x2-2x+3.
当x=1时,-x2-2x+3有最大值4.
∴y2最大值为8.
∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.
评注平方法是处理根号问题最常用的方法,但却是考生嫌
,
也可用基本不等式ab≤a+b22求解.
解法2换元法.
令1-x=m,x+3=n,(m≥0,n≥0),
则m2+n2=4,
∴1-x+x+3=m+n.
令m=2cosα,n=2sinα,0≤α≤π2,
∴m+n=2cosα+2sinα=22sinα+π4.
当α=π4时,m+n取得最大值为22.
∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.
评注换元法是处理根号问题的第二个常用方法,形如
y=ax+b+cx+
元后也可以用线性规划转化为直线与四分之一圆周相交求解.
解法3基本不等式法.
由基本不等式a+b≥2ab,(a,b≥0)可推导得出
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,(当且仅当a=b时等号成
立).
也即有a+b≤2a2+b22.
∴1-x+x+3≤2(1-x)2+(x+3)22=22,
当且仅当1-x=x+3,即x=-1时等号成立.
评注因不等式的变形形式较多,考生往往不能熟练运用,
因此在平时教学中要多渗透各种形式,甚至把柯西不等式也介
绍给学生,虽然考试说明不作要求,但是可以激发学生对不等
式的学****兴趣.
解法4导数法.
求导得y′=121-x·(-1)+12x+3.
y2单调递增22单调递减2
∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.
评注导数法应该是对函数(可导函数)单调性、最值研究
的万能方法,且导数法应用步骤层式化,因此复合函数的求导
最好文科数学的教学也要渗透,所以运用导数研究函数的性
质,学生在操作上还是比较容易的.
解法5向量法.
y=1-x+x+3=1·1-x+1·x+3.
令m=(1,1),n=(1-x,x+3),
∴1-x+x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ,θ∈0,π4.
当m与n同向,即θ=0时,m·n取得最大,
∴[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.
∴函数y=1-x+x+3的最大值为22.
评注该解法巧妙地用“1”的代换将双根号与向量的数量积
联系起来,
=1-x+2x+3的最大值,此
时平方法、基本不等式法就不能做了,换元法可以转化为椭
圆,导数法作为万能方法仍然适用,但是向量法的解答将十分
简单:
令m=(1,2),n=(1-x,x+3),
∴1-x+2x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ.
当m与n同向,即θ=0时,m·n取得最大,
[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.
用多种方法解答同一道数学题,不仅能更牢固地掌握和运
用所学知识,而且通过一题多解,分析比较,寻找解题的最佳
途径和方法,处.