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勾股定理、逆定理教案(6节).docx

文档分类：中学教育 | 页数：约15页举报非法文档有奖

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勾股定理、逆定理教学设计(6节)
勾股定理、逆定理教学设计(6节)
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第十八章勾股定理
(一)
一、授课目的
,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
。
,激发学生的爱国热情,促其勤奋学二、重点、难点
:勾股定理的内容及证明。
:勾股定理的证明。
:几何学的产生,源于人们对土地面积的丈量需要。在古埃及,尼罗
河每年要泛滥一次;洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土,但也抹掉了田地之间的界限
标志。水退了,人们要重新画出田地的界限,就必定再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘,面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的
工具。本节课采用拼图的方法,使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依照是图
形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。
三、例题的妄图解析
例1(补充)经过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;经过拼图,发散学生的思
维,锻炼学生的着手实践能力;这个古老的优秀的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族骄傲感,和爱国情怀。
例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前生界上好多科学家正在试图搜寻其他星球的“人”,为此向宇宙发出了好多信号,
如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,
发射一种反响勾股定
理的图形,若是宇宙人是“文明人”
,那么他们必然会鉴别这种语言的。这个事实能够说明
勾股定理的重要意义。特别是在两千年前,是特别了不起的成就。
让学生画一个直角边为
3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出
AB的长。
以上这个事实是我国古代
3000多年前有一个叫商高的人发现的,
他说:“把一根直尺折
成直角,两段连结得素来角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。
”这句话意思是说一个直角
三角形较短直角边(勾)的长是
3,长的直角边(股)的长是
4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量
AB的长。
你可否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就
有勾2+股2=弦2。
D
C
关于任意的直角三角形也有这个性质吗?
五、例****题解析
例1(补充)已知:在△
ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、
∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
解析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同样的形状,利用面积相等进行证明。

ba
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AcB
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⑵拼成以下列图,其等量关系为:4S△+S小正=S大正
4×
1
ab+(b-a)2=c2,化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同样的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达
300余种。这个古老的优秀的证法,出自我国古代无名数学家
之手。激发学生的民族骄傲感,和爱国情怀。
例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2
=c2。
b
a
a
b
解析:左右两边的正方形边长相
c
等,则两个正方形的面积相等。
a
a
c
a
b
左边S=4×1
ab+c2
c
2
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右边S=(a+b)
2
b
c
b
c
c
左边和右边面积相等,即
a
4×
1
ab+c2=(a+b)2
a
b
a
2
化简可证。
六、课堂练****br/>:
,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线
A
;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;
⑷三边之间的关系:
。

b
b
。
D
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CB
3.△ABC的三边a、b、c,若满足b2=a2+c2,则
=90°;若满足b2>c2+a2,
则∠B是
角;若满足b2<c2+a2,则∠B是
角。
A
a
D
,利用面积法证明勾股定理。
c
b
E
七、课后练****br/>c
a
B
△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
b
C
⑴c=
。(已知a、b,求c)
⑵a=
。(已知b、c,求a)
⑶b=
。(已知a、c,求b)
,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试依照表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
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3、4、5
32+42=52
5、12、13
2
2
2
5+12
=13
7、24、25
72+24
2=252
9、40、41
92+40
2=412
⋯⋯
⋯⋯
19,b、c
2
2
2
19+b=c
△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=103cm,一点P从B向C以每秒2cm的
速度移,当P点移多少秒,PA与腰垂直。
:如,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延上。
求:⑴AD2-AB2=BD·CD
A
⑵若D在CB上,怎样,明你的。
DBC
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八、参照答案
堂
;
11
2.⑴∠A+∠B=90°;⑵CD=AB;⑶AC=
22
3.∠B,角,角;

222
AB;⑷AC+BC=AB。
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:因S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA,又因S梯形ACDG=
1(a+b)2,
1
1
1(a+b)2=2×
1
1
2
S△BCE=S△EDA=
ab,S△ABE=
c2,
ab+
c2。
2
2
2
2
2
后
1.⑴c=
b2
a2;⑵a=
b2
c2;⑶b=
c2
a2
a
2
b
2
c
2
2
2
;b=
a
1,c=a
1;当a=19,b=180,c=181。
2.
c
b
1
2
2
。
:A作AE⊥BC于E。
(二)
一、授课目
。
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、分类谈论思想。
二、重点、难点
:勾股定理的简单计算。
:勾股定理的灵便运用。
:
⑴数形结合,让学生每做一道题都画图形,并写出应用公式的过程或公式的推倒过程,在做题过程中熟记公式,灵便运用。
⑵分类谈论,让学生画好图后标图,从不同样角度考虑条件和图形,考虑问题要全面,在谈论的过程中提高学生的灵便应用能力
⑶作辅助线,勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,要
创立直角三角形,作高是常用的创立直角三角形的辅助线做法,在做辅助线的过程中,提高
学生的综合应用能力。
⑷优化训练,在不条件、不同样环境中屡次运用定理,使学生达到熟练使用,灵便运用的程
度。
三、例题的妄图解析
例1(补充)使学生熟悉定理的使用,刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都能够求出第三边。并学会利用不同样的条件转变成已知两边求第三边。
例2(补充)让学生注意所给条件的不确定性,知道考虑问题要全面,领悟分类谈论思
想。
例3(补充)勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创立直角三角形,作
高是常用的创立直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提高综合能力。
四、课堂引入
复****勾股定理的文字表达;勾股定理的符号语言及变形。学****勾股定理重在应用。
五、例****题解析
例1(补充)在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=1,c=2,求b。⑶已知c=17,b=8,求a。⑷已知a:b=1:2,c=5,求a。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
解析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。⑴已知两
直角边,求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和素来角边,求另素来角边,用勾股定理的
便形式。⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。经过前三题让学生明确在直角三角形中,已知
任意两边都能够求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系,也能够求出未知边,学会见比设参的数学方法,领悟由角转变成边的关系的转变思想。
例2(补充)已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三
C
边。
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解析:已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面,领悟分类
谈论思想。
例3(补充)已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的高。

ADB
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⑵求S△ABC。
解析:勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创立直角三角形,作高是常用的创立直角三角形的辅助线做
法。欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,
但只有一边已知,依照等腰三角形三线合一性质,可求
AD=CD=
1
AB=3cm,则此题可解。
2
六、课堂练****br/>
⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=
。
⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=
。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a=
,b=
。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为
。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为
。
⑹已知等边三角形的边长为
2cm,则它的高为
,面积为
。
:如图,在△ABC
中,∠C=60°,AB=4
3,
A
AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。

10,底边长是16,求这个等腰
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三角形的面积。
七、课后练****br/>
在Rt△ABC,∠C=90°,
⑴若是a=7,c=25,则b=。
⑵若是∠A=30°,a=4,则b=。
⑶若是∠A=45°,a=3,则c=。
⑷若是c=10,a-b=2,则b=。
⑸若是a、b、c是连续整数,则a+b+c=。
⑹若是b=8,a:c=3:5,则c=。
:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。

CDB
AD
BC
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八、参照答案
课堂练****br/>;7;6,8;6,8,10;4或34;3,3;
;。
课后练****br/>;4
3;3
2;6;12;10;
2
3
2.
3
(三)
一、授课目的
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。
。
二、重点、难点
:勾股定理的应用。
:实责问题向数学问题的转变。
:
数形结合,从实责问题中抽象出几何图形,让学生画好图后标图;在实责问题向数学问
题的转变过程中,注意勾股定理的使用条件,教师要向学生交代清楚,讲解理解;优化训练,
在不条件、不同样环境中屡次运用定理,使学生达到熟练使用,灵便运用的程度;让学生深入
商议,积极参加到课堂中,发挥学生的积极性和主动性。
三、例题的妄图解析
例1(教材P74页研究1)明确怎样将实责问题转变成数学问题,注意条件的转变;学会怎样利用数学知识、思想、方法解决实责问题。
例2(教材P75页研究2)使学生进一步熟练使用勾股定理,研究直角
三角形三边的关系:保证一边不变,其他两边的变化。
D
四、课堂引入
勾股定理在实质的生产生活中间有着广泛的应用。
勾股定理的发现和使
用解决了好多生活中的问题,
今天我们就来运用勾股定理解决一些问题,
你
能够吗?试一试。
五、例****题解析
A
例1(教材P74页研究
1)
解析:⑴在实责问题向数学问题的转变过程中,注意勾股定理的使用条件,
即门框为长方形,四个角都是直角。⑵让学生深入商议图中有几个直角三角形?图中标字母
的线段哪条最长?⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度,只记长度,商议以何种方式经过?
⑷转变成勾股定理的计算,采用多种方法。⑸注意给学生小结深入数学建模思想,激发数学兴趣。
例2(教材P75页研究2)
解析:⑴在△AOB
中,已知
AB=3,AO=,利用勾股定理计算
A
OB。
⑵在△COD
中,已知
C
CD=3,CO=2,利用勾股定理计算
OD。
OBD
则BD=OD-OB,经过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生研究AC和BD的关系,给AC不同样的值,计算BD。
六、课堂练****br/>,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,
这棵红叶树的离地面的高度是米。
,山坡上两株树木之间的坡面距离是43米,则这两株树之间的垂直距离是
米,水平距离是米。
B
C
A
30
B
C
A

C
B
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2题图
3题图
4题图
,一根
12米高的电线杆两侧各用15
米的铁丝固定,两个固定点之间的距离
是
。
,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,能够打地道
由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为
300万元,地道总长为
2公里,地道
造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可
A
省工程花销是多少?
七、课后练****br/>,欲丈量松花江的宽度,沿江岸取
B、C两点,
在江对岸取一点
A,使AC垂直江岸,测得
BC=50米,
B
C
∠B=60°,则江面的宽度为
。
R
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,想用一个圆形盖去
遮住这个洞口,则圆形盖半径最少为米。
、Q
两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=厘米。
,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24
米,∠B=∠C=30°,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。

PQ
A
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(精确到1米)
BEDFC
八、参照答案:
课堂练****br/>
2;
,
23;
;
;
课后练****br/>
3米;
2.
2;
2
;
,48米,32米;
(四)
一、授课目的
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。
。
二、重点、难点
:勾股定理的综合应用。
:勾股定理的综合应用。
:
⑴数形结合,正确标图,将条件反响到图形中,充分利用图形的功能和性质。
⑵分类谈论,从不同样角度考虑条件和图形,考虑问题要全面,在谈论的过程中提高学生的灵便应用能力。
⑶作辅助线,作高是常用的创立直角三角形的辅助线做法,在做辅助线的过程中,提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练,在不条件、不同样环境中屡次运用定理,使学生达到熟练使用,灵便运用的程度。
三、例题的妄图解析
例1(补充)“双垂图”是中考重要的考点,熟练掌握“双垂图”的图形构造和图形性
质,经过谈论、计算等使学生能够灵便应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有:3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°
或45°特别角的特别性质等。
例2(补充)让学生注意所求结论的开放性,依照已知条件,作合适辅助线求出三角形
中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题经常经过作高转变成直角三角形的问题。使学
生清楚作辅助线不能够破坏已知角。
例3(补充)让学生掌握不规则图形的面积,可转变成特别图形求解,此题经过将图形
转变成直角三角形的方法,把四边形面积转变成三角形面积之差。在转变的过程中注意条件
的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提高解题的综合能力。
例4(教材P76页研究3)让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步领悟数轴上的点与实数一一对应的理论。
四、课堂引入
复****勾股定理的内容。本节课研究勾股定理的综合应用。五、例****题解析
例1(补充):在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=
3,
求线段AB的长。
解析:此题是“双垂图”的计算题,
“双垂图”是中考重要的考点,因此要修业生对图形及
性质掌握特别熟练,能够灵便应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有:
3个直角三角形,
三个勾股定理及推导式
2
2
2
2
BC-BD=AC-AD,两对相等锐角,四对
C
互余角,及30°或45°特别角的特别性质等。
要修业生能够自己画图,并正确标图。引导学生解析:欲求
AB,可由AB=BD+CD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特
殊角,求出BD=3和AD=1。或欲求
AB,可由AB
AC
2
BC
2
,
B
D
A
分别在两个三角形中利用勾股定理和特别角,求出
AC=2和BC=6。
例2(补充)已知:如图,△
ABC中,AC=4,∠B=45°,
C
∠A=60°,依照题设可知什么?
解析:由于此题中的△
ABC不是直角三角形,因此依照题设只
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AD

B
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能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思虑和谈论后,发现添置
AB边上的高这条辅助线,
就可以求得AD,CD,BD,AB,BC及S△ABC。让学生充分谈论还可以够作其他辅助线吗?
为什么?
小结:可见解一般三角形的问题经常经过作高转变成直角三角形的问题。
并指出怎样作
辅助线?
解略。
例3(补充)已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,
A
AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。
解析:怎样构造直角三角形是解此题的重点,
能够连结AC,
D
或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于E,依照本
题给定的角应选后两种,进一步依照此题给定的边选第三种
B
E
较为简单。授课中要逐层显现给学生,让学生深入领悟。
C
解:延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=48=43。
∵DE
2
2
2
2
2
=CE-CD=4-2=12,∴DE=12=23。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
1
1
3
AB·BE-CD·DE=6
2
2
小结:不规则图形的面积,可转变成特别图形求解,
此题经过将图形转变成直角三角形
的方法,把四边形面积转变成三角形面积之差。
例4(教材P76页研究3)
解析:利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,
进一步领悟数轴上的点与实数一一
对应的理论。
变式训练:在数轴上画出表示
31,2
2的点。
六、课堂练****br/>1.△ABC中,AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC=
,S△ABC=
。
2.△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,AC=2
3cm,则∠A=
度,∠B=
度,
∠C=
度,BC=
,S△ABC=
。
3.△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2
3,CD⊥AB于D,
A
则AC=
,CD=
,BD=
,
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AD=,S△ABC=。
:如图,△ABC中,AB=26,BC=25,AC=17,
求S△ABC。

BC
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七、课后练****br/>△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=3,AB=。
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△ABC中,∠C=90°,S△ABC=30,c=13,且a<b,则a=
,b=
。
:如图,在△
ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2
2,
求(1)AB的长;(2)S△ABC。
A
-
5,25的点。
八、参照答案:
B
C
课堂练****br/>,300cm2;
,60,30,4,23;
,3,3,1,23;
⊥AC于D,设AD=x,则CD=17-x,252-x2=262-(17-x)2,x=7,BD=24,
1
S△ABC=AC·BD=254;
2
课后练****br/>;
,12;
:作AD⊥BC于D,AD=CD=2,AB=4,BD=23,BC=2+23,S△ABC==2+23;
。
(一)
一、授课目的
,掌握勾股定理的逆定理。
。
、抗命题、逆定理的看法及关系。
二、重点、难点
:掌握勾股定理的逆定理及证明。
:勾股定理的逆定理的证明。
:
先让学生着手操作,画好图形后剪下放到一起观察可否重合,激发学生的兴趣和求知欲,
再研究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的着手操作能力,由实践到理论学生更简单接受。
为学生搭好台阶,扫清阻挡。
⑴怎样判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转变成怎样判断一个角是直角。
⑵利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决。
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