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系统建模方法
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1:.
系统建模方法
系统抽象与数学描述
实际系统的抽象
本质上讲,系统数学模型是从系统概念出发的关于现实世界的
一小部分或几个方面的抽象的“映像”。
为此,系统数学模型的建立需要建立如下抽象:输入、输出、
状态变量及其间的函数关系。这种抽象过程称为模型构造。抽象
中,必须联系真实系统与建模目标,其中描述变量起着很重要的作
用,它可观测,或不可观测。
从外部对系统施加影响或干扰的可观测变量称为输入变量。
系统对输入变量的响应结果称为输出变量。
输入、输出变量对的集合,表征着真实系统的“输入-输出”性
状(关系)。
综上述,真实系统可视为产生一定性状数据的信息源,而模型
则是产生与真实系统相同性状数据的一些规则、指令的集合,抽象
在其中则起着媒介作用。系统数学建模就是将真实系统抽象成相应
的数学表达式(一些规则、指令的集合)。
-1-:.
(可观
(可观
测)
测)
输出变量
输入变量真实系统
观测屏障
抽象
真实系统
ωρ
(t)
(t)
黑箱数学描述
灰箱
白箱ωρ输入输出变量对
(t)、(t)---
真实系统建模的抽象过程
-2-:.
系统模型的一般描述及描述级(水平)
系统模型的一般描述:
一个系统的数学模型可以用如下七元组集合来描述:

ST,X,,Q,Y,,
其中:
T:时间基,描述系统变化的时间坐标,T为整数则称为离散时间系
统,为实数则称为连续时间系统;
X:输入集,代表外部环境对系统的作用。

:X,T
输入段集,描述某个时间间隔内的输入模式,是的一个
子集。
Q:
内部状态集,描述系统内部状态量,是系统内部结构建模的核心。
:
状态转移函数,定义系统内部状态是如何变化的,是一个映射。
Y:
输出集,系统通过它作用于环境。
:
输出函数,是一个映射,给出了一个输出段集。
系统模型描述级(水平):
按照系统论的观点,实际系统可在某种级(水平)上被分解,
因此系统的数学模型可以有不同的描述级(水平):
⑴性状描述级
性状描述级或称为行为描述级(行为水平)。在此级上描述系
统是将系统堪称黑箱,并施加输入信号,同时测得输出响应,结果
是得出一个输入-输出对:(ωρ)及其关系R={(ωρ):Ωωρ}。
,s,,,
-3-:.
因此,系统的性状级描述只给出输入-输出观测结果。其模型为
五元组集合结构:
S=(T,X,Ω,Y,R)
当ωρ满足ρ=f(ω)函数关系时,其集合结构变为:
,
S=(T,X,Ω,Y,F)
黑箱
⑵状态描述级
在状态结构级(状态结构水平)上,系统模型不仅能反映输入-
输出关系,而且应能反映出系统内部状态,以及状态与输入、输出
间的关系。即不仅定义了系统的输入与输出,而且定义了系统内部
的状态集及状态转移函数
系统的数学模型对于动态结构可用七元组集合来描述:
S=(T,X,Ω,Q,Y,δ,λ)
对于静态结构有:
S=(X,Q,Y,λ)
白箱
⑶复合结构级
系统一般由若干个分系统组成,对每个分系统都给出行为级描
述,被视为系统的一个“部件”。这些部件有其本身的输入、输出
变量,以及部件间的连接关系和接口。于是,可以建立起系统在复
合结构级(分解结构级)上的数学模型。
这种复合结构级描述是复杂系统和大系统建模的基础。
应该强调:
系统分解为复合结构是无止境的,即每个分系统还会有自己
的复合结构;
-4-:.
一个有意义的复合结构描述只能给出唯一的状态结构描述,
而一个有意义的状态结构描述本身只有唯一的性状(行为)
描述;
系统上述概念必须允许分解停止,又允许进一步分解,既包
含递归可分解性。
灰箱
-5-:.
相似概念简介
相似概念及含义
仿真的理论依据:相似论。
自然界中广泛存在着“相似”概念,最普遍的是:
几何相似:最简单、最直观,如多变形、三角形相似;
现象相似:几何相似的拓展,如物理量之间存在的比例关系。
采用相似技术来建立实际系统的相似模型,这是相似理论在系
统仿真中基础作用的根本体现。
相似分类
绝对相似:两个系统(如系统原型与模型)全部几何尺寸和其
他相应参数在时空域上产生的全部变化(或全部过程)都是相似
的;
完全相似:两个系统在某一相应方面的过程上相似,如发电机
的电流电压问题,模型与原型在电磁现象方面是完全相似即可,而
无需考虑热工和机械方面的相似;
不完全相似(局部相似):仅保证研究部分的系统相似,而非
研究和不要求部分的过程可能被歪曲,为研究目的所允许;
近似相似:某些简化假设下的现象相似,数学建模要保证有效
性。
不同领域中的相似有各自的特点,对领域的认识水平也不一
样:
环境相似(几何相似、参量比例相似等):结构尺寸按比例缩
小得到的模型-缩比模型,如风洞、水洞实验所用的模型。
离散相似:差分法、离散相似法把连续时间系统离散化为等价
的离散时间系统。
-6-:.
性能相似(等效、动力学相似、控制响应相似等):数学描述
相同或者频率特性相同,用于构造各类仿真的相似原则。
感觉相似(运动感觉、视觉、音响感觉等):耳、眼、鼻、
舌、身等感官和经验,MIL仿真把感觉相似转化为感觉信息源相
似,培训仿真器、VR均是利用这种相似原则。
思维相似:逻辑思维相似和形象思维相似(比较、综合、归纳
等),专家系统、人工神经元网络。
系统具有内部结构和外部行为,因此系统的相似有两个基本水
平:结构水平和行为水平。
同构必具有行为等价的特性,但行为等价的两个系统并不一定
具有同构关系。
因此,系统相似无论具有什么水平,基本特征都归结为行为等
价。
-7-:.
系统建模原则、一般途径和模型型谱
建模的基本原则
清晰性:系统模型是由许多分系统、子系统模型构成的,在模
型与模型间,除了研究目的需要的信息外,相互耦合要尽量少,使
结构尽可能清晰;
切题性:模型只应包括与研究目的有关的那些信息,而不是一
切方面;
精确性:在建模时,应考虑所收集到的用以建立模型的信息的
精确程度,要根据所研究问题的性质和所要解决的问题来确定对精
确程度的要求;对于不同的工程,精度要求是不一样的,即使对于
同一工程,由于研究的问题不同,精度要求也是不一样的;
集合性:指把一些个别的实体能组成更大实体的程度,对于一
个系统实体的分割,在可能时应尽量合并为大的实体。
建模的一般途径
对于内部结构和特性清楚的系统,即所谓的白箱(多数的工程
系统都是),可以利用已知的一些基本规律,经过分析和演绎导出
系统模型;
对那些内部结构和特性不清楚或不很清楚的系统,即所谓的灰
箱和黑箱,如果允许直接进行实验性观测,则可假设模型并通过实
验验证和修正;
对于那些属于黑箱但又不允许直接实验观测的系统(非工程系
统多属于这一类),则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模
型。
模型型谱
对于不同领域,可以给出一个数学模型型谱:
-8-:.
经济学、生理学、空气污染过程控制、动力学
黑白箱
箱
社会学、生态学、水文学空间、航空、电子电路
图2-1不同领域的数学模型型谱
-9-:.
系统模型的有效性与数学建模过程框架
基本模型与模型集总
基本模型(基础模型Basemodel):
提供了对实际系统行为的完全解释,包含有实际系统应有尽有
的分量和相互关系,在各种试验模式下该模型对于真实系统的“全
部”输入-输出性状都是有效的。
由于模型包含过多的分量及相互关系,一般是十分复杂而庞
大。通常是难以得到的,更何况并不实用。
一般是根据具体建模目标、在一定试验规模下构造出一个比较
简单而满足精度要求的模型:排除基本模型中那些与建模目标甚远
或涉及不到的分量,并对相关描述分量的相互关系加以简化。
模型集总:排除基本模型次要分量并简化其现存分量相互关系
的过程。
集总模型(Lumpedmodel):集总后的模型。
模型研究中使用的模型一般为集总模型。
模型的有效性
数学建模中最重要、最困难的问题之一
模型有效性的问题十分复杂,只介绍一般概念。
所谓模型的有效性:就是在对模型所作的预测精度为基准下,
反映实际系统数据与模型数据之间的一致性。
理论上讲,即实际系统与模型的输入-输出一致。可用下式象征
性地描述:
实际系统数据=模型产生数据
模型的有效性水平可以根据获取的困难程度有强度轻重之分,
一般分为三级:
-10-:.
复制有效:模型产生的数据与实际系统所取得的数据相匹配,
属于模型有效性的最松水平;
预测有效:从实际系统取得数据之前就能够至少看出匹配数
据,属于有效性稍强水平;
结构有效:不仅能够复制实际系统行为,而且能够真实反映实
际系统产生此行为的操作,属于更强的有效性水平,可看出实际系
统的内部工作情况。
系统数学建模过程框架
考虑模型的有效性水平,要在建模和模型使用时重点考虑一下
几个方面:
先验的知识可信性:建模前提的正确性,数学描述的有效性取
决于先验知识的可信性;
实验数据的可信性:所选择的数据段是否能反映系统行为特
征,模型数据与实际系统数据的偏离程度;
模型应用的可信性:从实际出发,考虑模型运行能否达到预期
目标。
因此,在建模方法与步骤上要有所考虑:
-11-:.
先验知识
演绎分析
模型框架定义
目试
目结构特性确定
标数
验
的
协据
设
调参数估计计
模型有效性分析
后验模型
数学建模过程框架
-12-:.
常用数学建模方法
常见数学建模方法及分类
基本上分两大类:
机理分析建模方法(白箱):依据基本的物理、化学等定
律,进行机理分析,确定模型结构、参数;使用该方法的前
提是对系统的运行机理完全清楚。
实验统计建模方法:基于实验数据的建模方法(白箱、灰
箱、黑箱)
辨识建模:线性、非线性,动态、静态
统计回归:一般是静态的线性模型
神经网络:理论上可以对任何数据建模,但学****算法
是关键
模糊方法:
实验统计建模方法使用的前提是必须有足够正确的数据,所建
的模型也只能保证在这个范围内有效;
足够的数据不仅仅指数据量多,而且数据的内容要丰富(频带
要宽),能够充分激励要建模系统的特性;
(白噪声、最优输入信号设计、数据的质量)
要清楚每种方法的局限性,掌握适用范围;
在实际应用中往往组合采用、互补。
机理分析建模方法
机理分析法建模原理
又称为直接分析法或解析法,应用最广泛的一种建模方法。
一般是在若干简化假设条件下,以各学科专业知识为基础,通
过分析系统变量之间的关系和规律,而获得解析型数学模型。
-13-:.
其实质是应用自然科学和社会科学中被证明是正确的理论、原
理和定律或推论,对被研究系统的有关要素(变量)进行理论分
析、演绎归纳,从而构造出该系统的数学模型。
机理分析法建模步骤
建模步骤如下:
1)分析系统功能、原理,对系统作出与建模目标相关的描述;
2)找出系统的输入变量和输出变量;
3)按照系统(部件、元件)遵循的物化(或生态、经济)规律
列写出各部分的微分方程或传递函数等;
4)消除中间变量,得到初步数学模型;
5)进行模型标准化;
6)进行验模(必要时需要修改模型)。
表格插值建模方法
表格插值建模原理
由于这种方法不允许直接实现动态方程,称之为静态建模技
术。但表格插值功能常用于建立系统动态方程。一般用于如下形
式:
y(k)f(x,x,x,)
123
x,x,x,
可以是仿真中的任意变量,如时间、状态变量
123
或常数等,输入个数可以使任意的,但实际应用中一般小于
5,输入量的增加,求解计算时间会增加。
一个有N个输入的插值函数可以用N维查找表来计算,每
一个变量的跨度为一个一维查找表。插值点的跨度可以是等间
距的,也可以是任意的间隔。
-14-:.
x,y,
1
x
2
插值计算有多种方法,不同的方法再插值计算复杂度和插值函
数平滑方面有所不同,一般由两种方法可以满足大多数情况下的需
要:
线性插值法
三次样条插值法
线性插值法建模
可以在图上直线连接相邻插值点来进行一维线性插值,如下
图。
插值函数是连续的,但其插值点上的微分是不连续的。
-15-:.
y
7
yy
36
y
4
y
5
y
2
y
1
y
0
xxxxxxxx
01234567
xx

yyyyL
LL1Lxx
L1L
注:要先确定插值点L、L+1。
常采用二分法,可以大大节省搜索时间。如果输入值x在计算
范围内小范围内变化,可以先检查输入值是否再上一次计算的插值
间隔内,这样就可以简化步骤,省去二分法;
也可以检查前一个插值点间隔、其相邻的插值点间隔(如果必
要),有时可省去使用二分法,但第一个插值点的计算除外;
该方法的有效性依赖于输入变量的缓变性,这样两次函数计算
之间不会发生快速跳变。条件不成立时,由于附加检查先于二分
法,计算过程变慢。
三次样条插值法建模
可以得到平滑的插值函数。
-16-:.
三次样条插值是运用三阶多项式估计两个插值点间的函数。这
样,在两个插值点上几两个插值点间,插值函数及其一阶和二阶导
数均是连续的。从某种角度上讲,三次样条可以在插值点间获得可
能的最平滑的插值。
y
7
yy
36
y
4
y
5
y
2
y
1
y
0
xxxxxxxx
01234567
与线性插值比代价要大,计算时间增加,内存需求也有所增
加;算法复杂。
多维表格插值法建模
针对对输入变量。
系统辨识建模方法
系统辨识建模原理
1962年,Zadeh给出系统辨识的定义:
就是在输入和输出数据的基础上,从一组给定的模型类中,确
定一个与所测系统等价的模型。
明确了辨识的三要素:
-17-:.
输入输出数据:辨识的基础;
模型类:寻找模型的范围;
等价准则:辨识的优化目标。
扰动
输入输出
被辨识的系统
噪声噪声测量仪器
MM
辨识技术
可测量的输出
系统模型
系统辨识原理图
系统辨识建模一般步骤
一般步骤:
1)明确建模目的和验前知识:目的不同,对模型的精度和形式
要求不同;事先对系统的了解程度。
2)实验设计:变量的选择,输入信号的形式、大小,正常运行
信号还是附加试验信号,数据采样速率,辨识允许的时间及
确定量测仪器等。
3)确定模型结构:选择一种适当的模型结构。
4)参数估计:在模型结构已知的情况下,用实验方法确定对系
统特性用影响的参数数值。
5)模型校验:验证模型的有效性。
-18-:.
辨识的目的和验前知识
系
确定模型结构
统
实的
验输
设入
阶、参数估计
输
计
出
数
据
模型校验
不满意
满意
最终模型
系统辨识步骤
最小二乘法
⑴输入-输出数据精确已知时确定模型参数的方法
数据精确已知是指测得的系统输入-输出数据是精确的,没有被
“噪声”污染。
y(k)ay(k1)ay(k2)a(kn)bu(k1)bu(k2)bu(kn)
12n12n
令:kn,n1,3n1可得2n个方程式:
y(n)ay(0)ay(1)ay(n1)bu(0)bu(1)bu(n1)
nn11nn1n

y(n1)ay(1)ay(2)ay(n)bu(1)bu(2)bu(n)
nn11nn1n
)
-19-:.
y(3n1)ay(2n1)ay(2n)ay(3n2)bu(2n1)bu(2n)bu(3n2)
nn11nn1n
Y
y(n)

y(n1)

Y


y(3n1)
y(0),y(1),,y(n1),u(0),u(1),,u(n1)

y(1),y(2),,y(n),u(1),u(2),,u(n)



y(2n2),y(2n1),,y(3n2),u(2n2),u(2n1),u(3n2)

a
n

a
n1


a

1

b
n
b
n1



b
1
1Y
⑵最小二乘法估计模型参数的方法
考虑测量不精确或者环境对过程的随机干扰,实际量测到的输
出为:
y(k)ay(k1)ay(k2)a(kn)bu(k1)
12n1
bu(k2)bu(kn)(k)
2n
其中:(k)-由量测噪声引起的随机变量
-20-:.
满足如下统计特性:
零均值
对输入、输出信号是独立的
(k),k0,1,2,3,是一个不相关的随机变量
设模型结构已定:
ˆˆˆˆˆˆ
y(k)ay(k1)ay(k2)a(kn)bu(k1)bu(k2)bu(kn)
12n12n
ˆˆ是模型的估计参数,待定。
a,b
ii
参数估计的任务:通过输入、输出数据确定参数
设:
ˆˆˆˆˆˆ
y(k)ay(k1)ay(k2)a(kn)bu(k1)bu(k2)bu(kn)
M12n12n
描述模型精度,引入模型残差:
e(k)y(k)y(k)
M
ˆ
eY
,N为观测次数
N
定义准则函数:
Je2(k)eTe
ˆ
确定,使J最小。
ˆ
(TT)1TY
NNN
从统计和概率角度考虑,观测得次数N远远大于贷估计参
数的个数2n
神经网络建模方法
神经网络建模原理
与系统辨识的思路相同,都是从数据来建立模型,但他们使用
不同的数学方法。
-21-:.
神经网络是基于生物神经元的模型,神经元是大脑基本的认知
单元。可以用于非线性系统和未知物理模型的系统建模。
复杂非线性系统建模时,可以考虑神经网络方法。
但需要大量有效的输入输出样本来训练网络。
前馈型BP网络
误差逆传播神经网络,能实现映射变换,最常用、研究最多、
认识最清楚。
LBLC
LA
输入层隐蔽层输出层
三层前馈型BP网络
是一个典型前馈型层次网络,分为输入层LA、隐蔽层LB、输出
层LC。同层间无关联,异层神经元间前相连接。
LA层:m个节点,对应于可感知的m个输入;
LB层:u个节点,可根据需要设置;
LC层:n个节点,与n中输出相应相对应。
LA层节点a到LB层节点b之间的联接权为W;
irir
LB层节点b到LC层节点c之间的联接权为V;
rjrj
T为LB层节点的阈值,θ为LC层节点的阈值;
rj
LB层节点的输出函数为:
-22-:.
m
bf(WaT),(r1,2,,u)
ririr
i1
LC层节点的输出函数为:
u
cf(Vb),(j1,2,,n)
jrjrj
r1
f(•)f(x)(1ex)1
为s型函数,即
统计分析建模方法
线性回归
y
x
yaxb
已知:
a,b
确定:;根据实验得到的数据
-23-:.
举例
例:机械平移系统——弹簧-物体-阻尼器组成的机械系统
-24-:.
F—输入量、力
y—输出、位移
牛顿定律:
K
d2y
maF,aF
dt2
FFFF
BK
dy
Ff,摩擦阻力,与物体移动的速度成正比
Bdt
y
FKy,弹性力,与物体位移成正比
K
d2ydyf
mFfKy
dt2dt
d2ydy
mfKyF
dt2dt
(ms2fsK)yF
1
yF
ms2fsK
-25-:.
例:电的四端网络
RL
C
uu
1
2
-26-:.
给出u与u的关系
12
克希荷夫定律:
di1
uRiLidt
1
dtC

1
uidt
2C
消去变量i,可得:
d2udu
LC2RC2uu
dt2dt21
(LCs2RCs1)uu
21
1
uu
2(LCs2RCs1)1
uauauau
2(k)01(k1)12(k1)22(k2)
-27-