考研数学二模拟题.pdf

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考研数学二模拟题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
x2
(1)当x0时,设arctanx2,1xa1(a0),arcsintdt,把三个无
0
穷小按阶的高低由低到高排列起来,正确的顺序是()
(A),,;(B),,;(C),,;(D),,;
(2)设函数f(x)在(,)内连续,在(,0)(0,)内可导,函数yy(x)的图像为
y
O
x
则其导数的图像为()
yy
OxOx
(A)(B)
:.
yy
OxOx
(C)(D)
(3)若f(x)是奇函数,(x)是偶函数,则f[(x)]()
(A)必是奇函数(B)必是偶函数
(C)是非奇非偶函数(D)可能是奇函数也可能是偶函数
ln(1x)(axbx2)
(4)设lim2,则()
x0x2
55
(A)a1,b;(B)a0,b2;(C)a0,b;(D)a1,b2
22
(5)下列说法中正确的是()
(A)无界函数与无穷大的乘积必为无穷大;
(B)无界函数与无穷小的乘积必为无穷小;
(C)有界函数与无穷大之和必为无穷大;
(D)无界函数与无界函数的乘积必无解;
(6)设线性无关的函数y,y,y都是二阶线性非齐次方程yp(x)yq(x)yf(x)的解,
123
C,C,C为任意常数,则该方程的通解是()
123
(A)CyCyCy;(B)CyCy(CC)y;
1123331123123
(C)CyCy(1CC)y;(D)CyCy(1CC)y;
11231231123123
(7)设A是n阶矩阵,齐次线性方程组(I)Ax0有非零解,则非齐次线性方程组(II)ATxb,
对任何b(b,b,b)T
12n
(A)不可能有唯一解;(B)必有无穷多解;
(C)无解;(D)可能有唯一解,也可能有无穷多解
:.
AT0
(8)设A,B均是n阶可逆矩阵,则行列式2的值为
0B1
(2)nAB12ATB2AB1(2)2nAB1
(A);(B);(C);(D)
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。
3x2dy
(9)已知yf,f(x)arcsinx2,则。

3x2dx
x0
x1x
(10)方程f(xt)dtx3f(t)dt满足f(0)0的特解为。
030
x2y2
(11)()d。其中D为x2y21。
a2b2
D
212
(12)设f(x)有一个原函数为ex,则f(x)dx。
0
xt2
1
(13)若f(t)limt21,则f(t)=。

xx
(14)设A是三阶矩阵,已知AE0,A2E0,A3E0,B与A相似,则B的相
似对角形为。
三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(1xx2/2)ex1x3
(15)(本题满分10分)求lim。
x0x3
12yy222yy2
(16)(本题满分10分)计算dy(x2y2)dxdy(x2y2)dx。
0yy210
11f(x)
(17)(本题满分10分)设f(x)在[0,)连续,且f(x)dx,lim0。证明:
02xx
至少0,,使得f()。
xzyz
(18)(本题满分10分)设函数zz(x,y)由方程F(,)0所确定,其中f有一阶连续
yx
zz
偏导数,求xy。
xy
:.
x2x2
(19)(本题满分10分)一个瓷质容器,内壁和外壁的形状分别为抛物线y1和y
1010
25
绕y轴的旋转面,容器的外高为10,比重为。把它铅直地浮在水中,再注入比重为3的溶
19
液。问欲保持容器不沉没,注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)
f(x)exx
x0
(20)(本题满分11分)设g(x)x,其中f(x)在x0处二阶可导,
axbx0

且f(0)f(0)1。
(I)a、b为何值时g(x)在x0处连续?
(II)a、b为何值时g(x)在x0处可导?
(21)(本题满分11分)过椭圆3x22xy3y21上任一点作椭圆的切线,试求诸切线与两
坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(22)(本题满分11分)设A是实矩阵。证明:(I)ATAx0与Ax0是同解方程组;(II)
秩(ATA)=秩(A)
(23)(本题满分11分)设A为三阶方阵,,,为三维线性无关列向量组,且有
123
A,A,A。求
123213312
(I)求A的全部特征值。(II)A是否可以对角化?
:.
考研数学二模拟题参考答案
二、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1)C
x2x2
arcsintdtarcsintdt2
2xarctanx
解:由limlim0lim0lim0
x0x0arctanx2x0x2x02x
所以
arctanx2x2
由limlimlim0
x0x0(1x)a1x0ax
。故C成立。
(2)B
解:由于函数可导(除x0)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与x轴有
且仅有两个交点,故A,C不正确。又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D不正确。
(3)B
解:设g(x)f[(x)],则g(x)f[(x)]f[(x)]g(x)
(4)A
ln(1x)(axbx2)1/(1x)(a2bx)
解:limlim2,因limx0,则
x0x2x02xx0
lim1/(1x)(a2bx)0,故a1。而
x0
ln(1x)(xbx2)ln(1x)x15
limlimb2,故2b,所以b
x0x2x0x222
【也可以用泰勒公式计算】
(5)C
设f(x)在(a,b)内有界,即f(x)M;x(a,b),limg(x),即MM,,
1021
xx0
使当0xx时,g(x)M。则g(x)f(x)g(x)f(x)MMM,即
0221
对M0,当0xx时,g(x)f(x)M,故lim[f(x)g(x)]
0xx
0
:.
(6)D
由y,y,y都是已知方程的线性无关的解知yC(yy)C(yy)是二阶线性齐次方
123113223
程yp(x)yq(x)y0的通解;根据二阶线性方程通解的结构定理知,该方程的通解为
yC(yy)C(yy)yCyCy(1CC)y
11322331123123
(7)A
解:Ax0有非零解,充要条件是r(A)n,由此即可找到答案。
(8)D
AT02AT0
22AT2B1(2)2nAB1
解:==
0B102B1

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。
3
(9)应填。
2
3x2
解:由yf,f(x)arcsinx2得

3x2
dy3x23x23x212
arcsin()2()arcsin()2
dx3x23x23x2(3x2)2
dy123
arcsin1
dx42
x0
(10)应填f(x)2(x1)2ex
xx1x
解:令xtu,原方程变为xf(u)duuf(u)dux3f(t)dt
0030
x
方程两边对x求导得f(u)dux2f(x)
0
dy
再两边对x求导得f(x)2xf(x),即y2x
dx
dxdx
ye[(2x)edxC]2(x1)C
由y(0)0得C2,故yf(x)2(x1)2ex
:.
11
(11)应填()
4a2b2
x2y21x2y2x2y2
()d()d
a2b22a2b2
DD
111
()(x2y2)d
2a2b2
D
11121
()dr3dr
2a2b200
11
()
4a2b2
1
(12)应填(e1)
2
1111111
解:由x3f(x2)dxx2f(x2)dx2ux2uf(u)duxf(x)dx
0202020
其中f(x)(ex2)2xex2
利用分部积分法,有
11112121
xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dx2x2exexe1
000000
11
故x3f(x2)dx(e1)
02
1111
12122
故原式xexdxexdx2ex(1e1)
02022
0
(13)应填2tet2(1t2)
f(t)t2et2
解:由于
f(t)et2(t22t2t)2tet2(t21)
所以
1

(14)应填2【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】


3
解:由AE0,A2E0,A3E0,知A的特征值为1,2,3,相
1123
:.
似矩阵具有相同的特征值,所以B的特征值也为1,2,3,故B相似的标准
1123
1

形为2


3
三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)(本题满分10分)解:
x2x2x2x3x3
由(1x)ex(1x)[1xx3]1x3
222!3!6
1x3
1x3(1x3)21x3
2
(1xx2/2)ex1x3
所以lim
x0x3
x3x3
1x3[1x3]
621
lim
x0x33
(16)(本题满分10分)

解:本题积分区域利用极坐标表示D{(r,)0,sinr2sin}
2
2sin1
原式dr2rdr15sin4d
0sin40
151cos2
()2d
402
151cos4
(12cos2)d
1602
45

64
(17)(本题满分10分)证明:作函数F(x)f(x)x,有
1111
F(x)dx[f(x)x]dxf(x)dx0。
0002
所以由积分中值定理,存在a[0,1],
:.
1
使F(x)dx(10)F(a)0,即F(a)0。
0
F(x)f(x)
又limlim11,所以,由极限的保号性,存在ba,
xxxx
F(b)
使0,即F(b)0。
b
因此,由介值定理,至少存在一个a,b(0,),使F()0,即f()。
(18)(本题满分10分)
xzyz
解:设u,v,则f(u,v)0
yx
zxzyzyz
FuFvF()F()0
uxvxuyyxvx2xx
zyzzxy
解得:FF/FF

xx2vyuyuxv

xzxzzyz
FuFvF()F()0
uyvyuy2yyvxxy
zxzzxy
解得:FF/FF

yy2uyvyuxv

zzyzxzxzyzxy
所以xyFFFF/FF=0

xyxvyuyuxvyuxv

x2
(19)(本题满分10分)解:设容器体积为V,容器的容积即由抛物线y1在[1,10]上
10
绕y轴旋转所得立体的体积V,则
1
1010
V10ydy500,V10(y1)dy405
1
01
252375
所以,容器重量为(VV)
11919
设注入液体的最大深度为h,则注入液体的重量为
h1
310(y1)dy15h2
1
:.
若液体和容器形成一体的比重为1,则可保持其在水中不沉没
2375
h2
19
所以,由1,可得h225,h5
500
f(x)exxf(x)ex1
(20)解:(I)limg(x)limlim1
x0x0xx01
limg(x)lim(axb)b
x0x0
若要g(x)在x0处连续,必须limg(x)limg(x)g(0),即b1b
x0x0
故b1,a为任意实数时,g(x)在x0处连续。
(II)若要g(x)在x0处可导,则必须g(x)在x0处连续(b1),且g(0)g(0)

g(x)g(0)f(x)exx(1)x
所以g(0)limlim
xx2
x0x0
f(x)exf(x)ex1f(x)f(0)ex1
limlimlim
x22x2x
x0x0x0
1f(x)f(0)ex11
limlim[f(0)1]

2x0xx0x2
ax1(1)
g(0)lima
x
x0
1
所以a[f(0)1],b1时,g(x)在x0处可导
2
(21)(本题满分10分)解:设(x,y)为所给椭圆上任一点,则可求得在(x,y)处的切线方程
为
(3xy)(Xx)(x3y)(Yy)0
(x3y)y(3xy)x
它与两坐标轴的交点为x,0和0,y。
3xyx3y
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为
1(x3y)y(3xy)x11
Sxy

23xyx3y2(3xy)(x3y)
:.
则只须求(3xy)(x3y)在条件3x22xy3y21下的极值即可。
设F(x,y,)(3xy)(x3y)3x22xy3y21
F6x10y6x2y0
x
由F10x6y2x6y0
y

3x22xy3y210

2211
解得x,y或x,。
4422
11
由此分别求的S或S
42
1
所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为
4
(22)(本题满分11分)证明:若x是Ax0的解,显然x是ATAx0的解;反之,设x是
000
ATAx0的解,则xTATAx0。即(Ax)TAx0,从而
0000
Ax2(Ax,Ax)(Ax)TAx0Ax0xAx0ATAx0
,于是,即是的解。与
0000000
Ax0是同解方程组
(II)既然ATAx0与Ax0是同解方程组,两者的解空间维数相同,从而推知秩(ATA)=
秩(A)
(23)(本题满分11分)
解:(I)由已知得,A()2(),A()(),
1231232121
A()(),
3131
又因为,,线性无关,所以0,0,0
1231232131
所以1,2是A的特征值,,,是相对应的特征向量。
1232131
又由,,线性无关,得,,也线性无关,所以1是矩阵A的
1231232131
二重特征值,即A得全部特征值为1,2
:.
(II)由,,线性无关,可以证明,,也线性无关,即A有
1231232131
三个线性无关的特征向量,所以,矩阵A可相似对角化。