函数与方程函数模型及其应用2.pdf

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函数与方程函数模型及其应用2
2-8函数与方程、函数模型及其应用
1.(·湘潭调研)以下函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )
[答案] C
[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有
f(a)·f(b)<、B选项中不存在f(x)<0,,应选
2.(文)假设函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(-2,2)内
有一个零点,那么f(-2)·f(2)的值( )


[答案] D
[解析] 假设函数f(x)在(-2,2)内有且仅有一个零点,且是变号零点,才有f(-
2)·f(2)<0,故由条件不能确定f(-2)·f(2)的值的符号.
1x1
(理)(·北京东城一模)函数f(x)=()-x,在以下区间中,含有函数f(x)零点的是
23
( )
111
A.(0,)B.(),
332
1
C.(1)D.(1,2),
2
[答案] B
1111
111111
[解析] f(0)=1>0,f()=()()>0,-33f()=()()<0,-23
323222
11
∵f()·f()<0,且函数f(x)的图象为连续曲线,
32
11
∴函数f(x)在()内有零点.,
32
[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性
定理,难度不大,但有一定的综合性,要多加强这种小题训练,做题不一定多,但却能将应
掌握的知识都训练到.
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3.(文)(·杭州模拟)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )

[答案] C
[解析] 在同一坐标系内作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象,∵lne=1,e<3,∴由
图象可见两函数图象有两个交点,∴函数f(x)有两个零点.
1x
(理)(·吉林市质检)函数f(x)=-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
(2)
个
[答案] B
1
[解析] 在同一坐标系中作出函数y=x与y=sinx的图象,易知两函数图象在
(2)
[0,2π]内有两个交点.
4.(·深圳一检)函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为xx1,
x2,x3,那么x1,x2,x3的大小关系是( )
<x2<<x1<x3
<x3<<x2<x1
[答案] A
[解析] 令f(x)=x+2x=0,因为2x恒大于零,所以要使得x+2x=0,x必须小于零,
即x1小于零;令g(x)=x+lnx=0,要使得lnx有意义,那么x必须大于零,又x+lnx=
0,所以lnx<0,解得0<x<1,即0<x2<1;令h(x)=x--1=0,得xx=+1>1,即xx3>1,
从而可知x1<x2<x3.
5.(·山东滨州)偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,那
么方程f(x)=0[-在区间a,a]内根的个数是( )

[答案] B
[解析] ∵f(0)·f(a)<0,∴f(x)在[0,a]中至少有一个零点,又∵f(x)在[0,a]上是
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单调函数,∴f(x)在[0,a]∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),∴f(x)在[-a,0)中也只有一个零点,故f(x)在[-a,a]内有两个零
点,即方程f(x)=0[-在区间a,a]
6.(文)(·北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业
:A—B为元;A—C为1600元;A—D为2500元;B—C为1200
元;C—,那么
B—D的机票价格为( )
(注:计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)


[答案] D
[解析] 注意观察各地价格可以发现:A、C、D三点共线,A、C、B构成以C为顶点的
直角三角形,如图可知BD=5×300=1500.
[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力,要在学****过程中加强培养.
(理)
(·济南一中)如图,A、B、C、D是四个采矿点,图中的直线和线段均表示公路,四边形
ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形,A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4,且
、Q、R、S中选一个中转站,要使中转费用
最少,那么应选( )


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[答案] B
[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1,A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为
6a,2a,3a,4a(a>0),设si(i=1,2,3,4)表示运矿费用的总和,那么只需比拟中转站在不同位
置时si(i=1,2,3,4),s1=6a+2a×2+3a×3+4a×4=35a,如果选
在Q点,s2=6a×2+2a+3a×2+4a×3=32a,如果选在R处,s3=6a×4+2a×3+3a+
4a×2=33a,如果选在S处,s4=6a×4+2a×3+3a×2+4a=40a,显然,中转站选在Q点
时,中转费用最少.
=f(x),当x≥0时,y=f(x)单调递增,f(1)·fy=f(x)的图
象与x轴的交点个数是________.
[答案] 2
[解析] 由可知,在[0,+∞)上存在惟一x0∈(1,2),使f(x0)=0,又函数f(x)为偶函
数,所以存在x′0∈(-2,-1),使f(x′0)=0,且x′0=-
个交点.
8.
(·浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m长的围墙,如果用此批材料在一边靠
墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图),那么围成
场地的最大面积为________(围墙的厚度不计).
[答案] 2500m2
200-x
[解析] 设所围场地的长为x,那么宽为,其中0<x<200,场地的面积为x×
4
200-x1x+200-x22
≤=2500m,等号当且仅当x=100时成立.
44(2)
9.(文)(·揭阳市模拟)某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且
产品全部供给距农场d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如表:当距离d到达n(km)以
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上时,四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产本
钱-运输本钱),那么n的值为________.
作物
水果蔬菜稻米甘蔗
工程
市场价格(元/kg)8321
生产本钱(元/kg)321
运输本钱(元/kg·km)
面积相对产量(kg)10154030
[答案] 50
[解析] 设面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4,
那么y1d,y2d,y3d,y4d,
由Error!⇒50≤d<200,故n=50.
(理)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,假
设方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,那么x1+x2+x3+x4
=________.
[答案] -8
[解析] 解法1:由,定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点,又f(x)在区间[0,2]
上为增函数,所以方程f(x)=m(m>0)在区间[0,2]上有且只有一个根,不妨设为x1;
∵f(x1)=-f(-x1)=-[-f(-x1+4)]=f(-x1+4),∴-x1+4∈[2,4]也是一个根,
记为x2,∴x1+x2=4.
又∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)是周期为8的周期函数,
∴f(x1-8)=f(x1)=m,不妨将此根记为x3,
且x3=x1-8∈[-8,-6];同理可知x4=x2-8∈[-6,-4],
∴x1+x2+x3+x4=x1+x2+x1-8+x2-8=-8.
解法2:∵f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),
∴f(x-4)=f(-x),以2-x代入x得:
f(-2-x)=f(-2+x)
∴f(x)的图象关于直线x=-2对称,
又f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于直线x=2也对称.
又f(x-8)=f((x-4)-4)=-f(x-4)=f(x),
∴f(x)的周期为8.
又在R上的奇函数f(x)有f(0)=0,f(x)在[0,2]上为增函数,方程f(x)=m,在[-
8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.
∴必在[-2,2]上有一实根,不妨设为x1,∵m>0,∴0≤x1≤2,∴四根中一对关于直线
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x=2对称一对关于直线x=-6对称,故x1+x2+x3+x4=2×2+2×(-6)=-8.
,的哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽
车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,原因是
液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,
据以下数据:①,市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12元千
米;②当前液化气价格为3/千克,一千克液化气平均可跑15~16元千米;③一辆出租车日
平均行程为200千米.
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱);
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花
费的钱.
[解析] (1)设出租车行驶的时间为t天,所消耗的汽油费为W元,消耗的液化气费为
P元,
200t140t
由题意可知,W=×=(t≥0且t∈N)
123
200t200t
×3≤P≤×3 (t≥0且t∈N),
1615
140t
t≤P≤>40t,即W>P,
3
所以使用液化气比使用汽油省钱.
140t
(2)①t+5000=,解得t≈,
3
又t≥0,t∈N,∴t=546.
140t
②设40t+5000=,解得t=750.
3
所以,假设改装液化气设备,那么当行驶天数t∈[546,750]时,省出的钱等于改装设备
的钱.
,第三个月销台,第二个月销售
售400790台,第四个月销售台,那么以下函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月
数x之间关系的是( )
==50x2-50x+100
=50×=100log2x+100
[答案] C
[解析] 观察前四个月的数据规律,(1,100),(2,200),(3,400),(4,790),接近
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(4,800),可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律,应选C.
[点评] 也可以将x=1,2,3,4,依次代入四个选项中,通过比照差异大小来作判断,但
计算量比拟大.
12.(文)(·舟山月考)函数f(x)=Error!的零点个数是( )

[答案] D
[解析] 令-x(x+1)=0得x=01,满足或-x≤0;
当x>0ln时,∵x与2x-6都是增函数,
∴f(x)=lnx+2x-6(x>0)为增函数,
∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,
∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点,
故f(x)共有3个零点.
f(x)在[-2,2]内的图象如下图,假设函数f(x)的导函数f′(x)的图象也是连续不间断
的,那么导函数f′(x)在(-2,2)内有零点( )


[答案] D
[解析] f′(x)的零点,即f(x)的极值点,由图可知f(x)在(-2,2)内,有一个极大值
和两个极小值,故f(x)在(-2,2)内有三个零点,应选D.
13.(·安徽江南十校联考)某流程图如下图,现输入如下四个函数,那么可以输出的函
数是( )
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|x|11
(x)=(x)=+x
x2-12
ex-e-x
(x)=-xf(x)=lgsinx
e+e
[答案] C
[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数,:f(x)=
|x|11ex-e-x
不存在零点;f(x)=+不存在零点;xf(x)=的定义域为全体实数,且x-xf(-
x2-12e+e
e-x-exex-e-x
x)==--xxf(x),故此函数为奇函数,且令f(x)==0,得x-xx=0,函数f(x)存
e+ee+e
在零点;f(x)=lgsinx不具有奇偶性.
14.(文)(·山东济宁一模)a是函数f(x)=2x-log1x的零点,假设0<x0<a,那么f(x0)
2
的值满足( )
(x0)=(x0)<0
(x0)>(x0)的符号不确定
[答案] B
[解析]
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分别作出y=2x与y=log1x的图象如图,
2
当0<x0<a时,y=2x的图象在y=log1x图象的下方,
2
所以,f(x0)<0.
(理)(·安徽合肥质检)函数f(x)=Error!,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的
顺序排列成一个数列,那么该数列的通项公式为( )
nn-1*
=(n∈N)
2
=n(n-1)(n∈N*)
=n-1(n∈N*)
=2n-2(n∈N*)
[答案] C
[解析] 当x≤0时,f(x)=2x-1;当0<x≤1时,f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x
-1;
当1<x≤2时,f(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=2x-2-1+2=2x-2+1;…
∴当x≤0时,g(x)的零点为x=0;当0<x≤1时,g(x)的零点为x=1;
当1<x≤2时,g(x)的零点为x=2;…当n-1<x≤n(n∈N*)时,g(x)的零点为n,
故a1=0,a2=1,a3=2,…,an=n-1.
15.(文)某加工厂需定期购置原材料,,每次购置原材料
,
公斤,每次购置的原材料当天即开始使用(即有400).公斤不需要保管
(1)设该厂每x天购置一次原材料,试写出每次购置的原材料在x天内总的保管费用
y1(元)关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购置一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少,并求出这个
最小值.
[解析] (1)每次购置原材料后,当天用掉的400公斤原材料不需要保管,第二天用掉
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的40014002公斤原材料需保管天,第三天用掉的公斤原材料需保管天,第四天用掉的
4003…,第天,公斤原材料需保管x天(也就是下次购置原材料的前一天)用掉最后的400
公斤原材料需保管x-1天.
∴每次购置的原材料在x天内的保管费用为
y1=400×[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x.
(2)由(1)可知,购置一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+×400x=6x2+594x+
600(元),
∴购置一次原材料平均每天支付的总费用为
600600
y=+6x+594=2594=714.+·6x
xx
600
当且仅当=6x,即x=10时,取得等号.
x
∴该厂10714天购置一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少,最少费用为元.
(理)(·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场
的局部资源,
农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=,假设工厂每生产一t
吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格).
(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产
量;
(2)假设农场每年受工厂生产影响的经济损失金额yt2(元),在工厂按照获得最大利润的
产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s
是多少?
[解析] (1)工厂的实际年利润为:
w=-tst(t≥0).
100010002
w=-tst=-s()t-2+,
ss
10002
当t=()时,w取得最大值.
s
10002
所以工厂取得最大年利润的年产量t=()(吨).
s
(2)设农场净收入为v元,
那么v=stt2.
10002
将t=()代入上式,
s
100022×10003
得v=-.4
ss
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100028×10003
又v′=-+25
ss
100028000-s3
=,5
s
令v′=0,得s=20.
当0<s<20时,v′>0;
当s>20时,v′<0.
所以当s=20时,v取得最大值.
因此李明向张林要求赔付价格s为20/吨时,
1.(·江苏南通九校)假设a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-
11
4的零点为n,那么+的取值范围是( )
mn
A.(,+∞)B.(1,+∞)
C.(4,+∞)D.(,+∞)
[答案] B
11
[分析] 欲求+的取值范围,很容易联想到根本不等式,于是需探讨m、n之间的关
mn
系,观察f(x)与g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转
化为指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标,因为指数函数
y=ax和对数函数y=logax互为反函数,故其图象关于直线y=x对称,又因直线y=-x+4
垂直于直线y=x,指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标之
和是直线y=x与y=-x+42的交点的横坐标的倍,这样即可建立起m,n的数量关系式,
进而利用根本不等式求解即可.
[解析] 令ax+x-4=0得ax=-x+4,令logax+x-4=0log得ax=-x+4,
在同一坐标系中画出函数y=ax,y=logax,y=-x+4的图象,结合图形可知,n+m为
直线y=x与y=-x+42Error!,解得的交点的横坐标的倍,由x=2,所以n+m=4,
11mn1111
因为(n+m)1+1++≥4,又+=n≠m,故(n+m)>4,那么+>1.+
(nm)nm(nm)nm
2.(·温州十校模拟)函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,假设对于任一实数
x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,那么实数m的取值范围是( )
A.(0,2)B.(0,8)
C.(2,8)D.(-∞,0)
[答案] B
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4-m
[解析] 当m≤0时,显然不合题意;当m>0时,f(0)=1>0,①假设对称轴≥0即
2m
0<m≤4,结论显然成立;
4-m2
②假设对称轴<0,即m>4,只要Δ=4(4-m)-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即
2m
4<m<8.
综上0<m<8,选B.
3.(·江南十校联考)定义域为D的函数f(x)同时满足条件:①常数a,b满足a<b,区
间[a,b]⊆D,②使f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k∈N*),那么我们把f(x)叫做[a,b]
上的“k级矩形〞(x)=x3是[a,b]上的“1级矩形〞函数,那么满足条件的常
数对(a,b)共有( )


[答案] C
[分析] 由“k级矩形〞函数的定义可知,f(x)=x3的定义区间为[a,b]时,值域为
[a,b],可考虑应用f(x)的单调性解决.
[解析] ∵f(x)=x3在[a,b]上单调递增,
∴f(x)的值域为[a3,b3].
又∵f(x)=x3在[a,b]上为“1级矩形〞函数,
∴Error!,解得Error!或Error!或Error!,
故满足条件的常数对共有3对.
4.
如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、
l:x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中
阴影局部),假设函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )
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[答案] C
a
[解析] A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快,到t=时,增长的
2
a
速度又减慢,而C图那么从t=开始匀速增大与f(t)不符.
2
5.(·天津市南开区模考)函数f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),那么函数f(x)的零点个数
是( )


[答案] D
[解析] 在同一坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,a>1(1),0<时,如图a<1
时,如图(2),应选D.
[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法.
∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},那么函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零
点的概率为( )
15
.
28
113
C. D.
164
[答案] C
[解析] 因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+∈{1,2,3,4},因此f
′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2],那么
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Error!,解得a+1≤b≤8+[1,2]上有零点的有:a=
1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b==2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b==
11
3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b==4,5≤b≤16,故b=8,b.
16
31x-2
=x与y=()的图象的交点为(x0,y0),那么x0所在的区间是( )
2
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
[答案] B
[解析] 令g(x)=x3-22-x,可求得g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,g(3)>0,gg(x)的零点
所在区间为(1,2).
8.(·福建理,4)函数f(x)=Error!的零点个数为( )

[答案] C
[解析] 令x2+2x-3=0得,x=-31或
∵x≤0,∴x=-3,令-2+lnx=0ln得,x=2
∴x=e2>0,故函数f(x)有两个零点.
9.(·龙岩模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的
距离分别是am(0<a≤12)、4m,不考虑树的粗细,现在想用16m长的篱笆,借助墙角围成一
,S的最大值为f(a),假设将这棵树围在花园
内,那么函数u=f(a)的图象大致是( )
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[答案] C
[解析] 设BC=x,那么DC=16-x,由Error!得a≤x≤12,矩形面积S=x(16-x)
(a≤x≤12),显然当a≤8时,矩形面积最大值U=64,为常数,当a>8时,在x=a时,矩
形面积取最大值u=a(16-a),在[a,12]上为减函数,应选C.
=x(x-1)(x+1)的图象如下图,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+,那么方程
f(x)=0.
①有三个实根
②当x<-1时,恰有一实根
③当-1<x<0时,恰有一实根
④当0<x<1时,恰有一实根
⑤当x>1时,恰有一实根
正确的有________.
[答案] ①②
[解析] ∵f(-2)=-<0,f(-1)=>0,
即f(-2)·f(-1)<0,
∴在(-2,-1)内有一个实根,结合图象知,方程在(-∞,-1)
以②正确.
又∵f(0)=>0,结合图象知f(x)=0(-1,0)上没有实数根,所以③
又∵f()=×(-)×+=-<0,ff(x)=0(,1)上必有一实在
根,在(0,)上也有一个实根.∴f(x)=0(0,1)④
由f(1)>0结合图象知,f(x)=0(1,+∞)上没有实根,∴⑤不正确,由此可知①
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函数与方程函数模型及其应用2
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