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线性代数第21讲相似矩阵.ppt

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文档列表 文档介绍

相似矩阵
一、相似矩阵的概念
二、相似矩阵的性质
三、矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的概念
定义1
使
设
都是
阶矩阵,
若存在可逆矩阵
则称
是
的相似矩阵,
并称矩阵A与B相似.
对
进行
运算称为对
进行相似变换,
逆矩阵
称为把
变成
的相似变换矩阵.
注:
,
满足:
(1) 反身性
(2) 对称性
则B与A相似;
可
(3) 传递性
B与C相似,
则A与C相似.
若A与B相似,
若A与B相似,
阶矩阵A,
A与A相似;
对任意
:
其中
为任意常数.
例
1
设有矩阵
试验证存
在可逆矩阵
使得与相似.
证
易见可逆,
由
故与相似.
且
二、相似矩阵的性质
定理 1
多项式相同,
证:
若
阶矩阵
相似,
与
从而
与
特征值亦相同.
与
相似,
使得
故
可逆矩阵
与
即
有相同的特征多项式,
从而有相同的特征
则
与
的特征
值.
如对例1中的矩阵,
由
易见它们有相同的特征值
相似矩阵的其它性质:
;
;
,
当它们可逆时,
它们的逆矩阵也相似.
则
故
与
具有相同的可逆性;
与
若
相似且都可逆,
非奇异矩阵
则
使
于是
即
相似.
与
证毕.
证
与
相似
阶矩阵
设
例
2
容易算出与的特征多项式均为
但可
以证明与不相似.
事实上,
是一个单位阵,
对任意的可逆阵
有
不是单位阵.
所以与不相似.
也必须是单位阵,
而现在
因此若与相似,
相似矩阵的特征值与特征向量
命题
若
与
是
的某个特征值,
若
是
的关于
的特征向量,
关于
的特征向量.
则
是
的
证明
由已知,
因此
于是
两边左乘
得
即
也就是说
关于
的特征向量.
是
的
三、矩阵的相似对角化
定理 2
阶矩阵
与对角矩阵
有
个线性无关的特征向量.
证
若
相似,
与
可逆矩阵
则
使得
设
则由
得
相似的充分必要条件为矩阵
A
必要性

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