高等数学常用极限求法.doc

求函数极限的方法和技巧
港航二组:(20人)
组长:刘旦
组员: 王隆菲王佩文王德刚陶霁于宁张春恒张辰宁曾纪雄骆雄罗鑫刘晓辉赵佳阳赵贤张帅张威夏达徐基荣严国道吴声
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例: 用极限定义证明:
证: 由
,取则当时,就有

由函数极限定义有:

2、利用极限的四则运算性质
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则:

(IV) (c为常数)
上述性质对于
例:求
解: =
3、约去零因式(此法适用于)
例: 求
解:原式=
=
==
=
4、通分法(适用于型)
例: 求

解: 原式=
=
=
5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)
设函数f(x)、g(x) 满足:
(I)
(II) (M为正整数)
则:
例: 求
解: 由而
故原式=
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
(I)若: 则
(II) 若: 且 f(x)≠0 则
例: 求下列极限
①②
解: 由故
由故=
7、等价无穷小代换法
设都是同一极限过程中的无穷小量,且有:
, 存在,
则也存在,且有=
例:求极限
解:
=
注: 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比“阶数”
8、利用两个重要的极限。

但我们经常使用的是它们的变形:
例:求下列函数极限


9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。
例:求下列函数的极限
(2)

10、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型)特别地有:
(m、n、k、l 为正整数)
例:求下列函数极限
①、n ②
解: ①令 t= 则当时,于是
原式=
②由于=
令: 则
==
=
11、利用函数极限的存在性定理
定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

则极限存在, 且有

例: 求(a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:

及
又当x时,k 有

及
=0
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形)。
定理:函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有:
==A
例:设= 求及
由

13、罗比塔法则(适用于未定式极限)
定理:若
此定理是对型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。
注:运用罗比塔法则求极限应注意以下几点:
要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导。
1、应用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。
要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误。
4、当不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。
例: 求下列函数的极限
①②
解:①令f(x)= , g(x)= l
,
由于
但
从而运用罗比塔法则两次后得到
②由故此例属于型,由罗比塔法则有:
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便,下列为常用的展开式:
1、
2、
3、
4、
5、
6、
上述展开式中的符号都有:
例:求
解:利用泰勒公式,当有
于是
=
=
=