剪力图和弯矩图(基础).docx

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1FAMMM剪力图和弯矩图一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图F=qa由以上分析可知,一般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为x轴,以坐标x表示横截面的位置,则剪力和弯矩可表示为x的函数,即23m=qa2q45FQFQ(x),MM(x)2C35BD4上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律,分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。aaa为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负,把剪力方程或弯矩方程用图线FB表示,称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例,以横截面沿轴线的位置为横坐标,以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标,按方程作图。yaFb例8-3图8-12(a)所示的简支梁为齿轮传动轴的ACBx计算简图,试列出它的剪力方程和弯矩方程,并作剪力(a)x图和弯矩图。lFAFB解(1)计算梁的支反力取整个梁AB为研究对FQFb象。由平衡条件:MA(F)0和MB(F)0,得lFAFbFBFaFlax(b)Ml,lb(2)列出剪力方程和弯矩方程以梁的左端A为坐标aFlx原点,选取坐标系如图8-12(a)所示。集中力F作用于C(c)点,梁在AC和CB两段内的剪力和弯矩不能用同一方程y来表示,应分段考虑。设各段任意截面的剪力和弯矩均以图8-12截面之am左的外力b表示,则得AxCxBxFQ(x)FAFbFll0<x<a(1)FAAC段BFQM(x)FxFbx0≤x≤a(2)mAllF(x)FxFFaa<x<l(3)MBC段maQAllxFbF)xFaFa(lx)mbM(x)FAxF(xa)(lla≤x≤l(4)l(3)按方程分段作图由式(1)与式(3)可知,AC段和BC段的剪力均为常数,所以剪力图是平行于x轴的直线。AC段的剪力为正,故剪力图在x轴上方;BC段剪力为负,故剪力图在x轴之下,如图8-12(b)所示。由式(2)与式(4)可知,弯矩都是x的一次方程,所以弯矩图是两段斜直线。根据式(2)、(4)确定三点x0,M(x)0xa,M(x)Fablx l,M(x)0由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图,如图8-12(c)。例8-4简支梁AB受集度为q的均布载荷作用,如图8-13(a)所示,作此梁的剪力图和弯矩图。图8-13解(1)(2)列出剪力方程和弯矩方程以梁左端A为坐标原点,选取坐标系如图所示。距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为FQFQMMMMqlFQFQFQ(x)FAqxqx0<x<l(1)2F=qam=2qa2m=2qa2m=qa2xql121q2≤x≤Cl(2)A12345qDM(x)FAxqx22x2qx12C35BAB4F02aaFAa2aBF(3)作剪力图和弯矩图由式(1)可知,剪力图是一条斜直线,确定其上两点后即可m2qa2Aaaa=F绘出此梁的剪力图(图8-13b)。由式q(12)F可知,弯矩图为二次抛物线,B要多确定曲线上的QC几点,才能画出这条曲线。例如ACMCx0FAal2/a4m=2qa2l/23l/4lF'q222y2aFbM(x)0QCBql3qlB03qlCCCM'A32322aaFB8x通过这几点作梁的弯矩y图,如图8-13(c)所示。FAxlFBFAqFBqlFQFbFQABxmax2。l由剪力图和弯矩图可以x看出,在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值:l1ql2FaxFQMl在梁跨度中点横截面上弯矩最大max8,而在此截面上剪力MFQ0。ll22qbq梁的剪力例8-5图8-14所示简支梁,跨度为l,在C截面受一集中力偶m作用。试列出alFQ(x)xFxM(x),并绘出梁AB的剪力图和弯矩图。方程和弯矩方程M222aa8yq3q3l22xm43laabq3(a)43ABxCxxylFFAlFBMAABxx(b)FAFQmQlxMxMma(c)lxlxmbF图8-14l解(1)求支反力由静力平衡方程MA(x)0,MB(x)0得(2)列剪力方程和弯矩方程由于集中力m作用在C处,全梁内力不能用一个方程来表示,故以C为界,分两段列出内力方程AC段FQ(x)FAmlM(x)FAxmlx0≤x<a(2)BC段FQ(x) FA mlM(x) FAxmmlxma≤x≤l(4)0<x≤a(1)a≤x<l(3)(3)画剪力图和弯矩图由式(1)、(3)画出剪力图,见图8-14(b);由式(2)(4)画出弯矩图,见图8-14(c)。二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中,若将M(x)的表达式对x取导数,就得到剪力FQ(x)。若再将FQ(x)的表达式对x取导数,则得到载荷集度q。这里所得到的结果,并不是偶然的。实际上,在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。图8-15设图8-15(a)所示简支梁,受载荷作用,其中有载荷集度为q(x)的分布载荷。q(x)是x的连续函数,规定向上为正,选取坐标系如图所示。若用坐标为x和xdx的两个相邻横截面,从梁中取出长为dx的一段来研究,由于dx是微量,微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷,见图8-15(b)。设坐标为x的横截面上的内力为FQ(x)和M(x),在坐标为xdx的横截面上的内力为FQ(x)dFQ(x)和M(x)dM(x)。假设这些内力均为正值,且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件 Fy0,得dFQ(x)q(x)由此导出dx(8-1)设坐标为xdx截面与梁轴线交点为C,由 MC0,得q(x)dxdx略去二阶微量2,可得dM(x)FQ(x)dx(8-2)将式(8-2)对x求一阶导数,并利用式(8-1),得d2M(x)q(x)dx2(8-3)公式(8-1)~(8-3)就是载荷集度q(x)、剪力FQ(x)和弯矩M(x)之间的微分关系。它表示:(1)横截面的剪力对x的一阶导数,等于梁在该截面的载荷集度,即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。(2)横截面的弯矩对x的一阶导数,等于该截面上的剪力,即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。(3)横截面的弯矩对x的二阶导数,等于梁在该截面的载荷集度q(x)。由此表明弯矩图d2M(x)q(x)的变化形式与载荷集度q(x)的正负值有关。若q(x)方向向下(负值),即dx2<0,弯矩图为向上凸曲线;反之,q(x)方向向上(正值),则弯矩图为向下凸曲线。根据微分关系,还可以看出剪力和弯矩有以下规律:dFQ(x)q(x)0(1)梁的某一段内无载荷作用,即q(x)0,由dx可知,FQ(x)常量。若FQ(x)0,剪力图为沿x轴的直线,并由dM(x)FQ(x)0可知,M(x)常量,dx弯矩图为平行于x轴的直线。若FQ(x)等于常数,剪力图为平行于x轴的直线,弯矩图为向上或向下倾斜的直线。(2)梁的某一段内有均布载荷作用,即q(x)等于常数,则剪力FQ(x)是x的一次函数,弯矩M(x)是x的二次函数。剪力图为斜直线;若q(x)为正值,斜线向上倾斜;若q(x)负d2M(x)q(x)值,斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线,当q(x)为正值,即dx2>0时,弯矩MM==MmM=m=mmF=MFM==Fm=m FF==FFFF11FFF1FFF()2FF()()MAAAA0q=0q(x0)02MB200x2MM(x)x+d22MMx(x)+dM(x)AAqqBq(B)BBBqq==x.=q=xq=q==...AAq(x)()......FFF=M=F=mMF=F.=F=Q1F01mF3kN3kNm3kNmmm0B223kNFAq=Aq=FFBFFF7kNQQQQMM..(x)3kN3kN1kN3kN2kN3kN3kO2kN2kN2kNO1kN1kN1kN2kN2kNq(x);当q(x)为负值,即xxx<0时,弯矩图为上凸3kN曲线。m5mFFxxx3kNmFF3kNF3kNF3kN3kN3kN3kNFQ5m5m5mF5m5m5mQ(3),剪力图发生突变,突变的绝对值等于该集中力的数值。..7kN......5kNm3kN16kNm弯矩M图M由M于M切线斜率MM突3kN变而发生转折。.2kN...2kN..(4).,.剪力图不..受影响,而弯矩图发生突变,突变的绝对值等于该5mF6kN6kNmm6kNm6kNmx6kNm6kNm5mF3kN3kNxx集中力偶的数值。.-1表示。.16kNmkNmm.....-1?各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图载荷情况xx剪力图弯矩图..6kNm6kNmM梁梁梁FF梁F梁QFFFMM梁梁MMMMQQQQQQF>0FF>0>0F>0F>0F>0F>0FQ>0F>0F>0F>0>0F>0>0QQQFFQQQQQQQQxQQxxxxq=梁0梁FFxxxMxxxxqq0Mxxqqqq0F<0==0=0=0=Q=0QF>0F<0F<0F<0F<0FQ<0FF<0<0F>0F>0F<0FF<>0F<0FQFF<0QQQQQQQQQQQQQqqFxxMxx=0=0FFFFFF<0MMF<0MMMFM<0qF<0qqqqqQQQQQQ<0<0Q<0<0<0Qq<0<0QqqQqq<0qqqq>0q<0q<0q<qq0q>0q>0q>0q>0>0>0<0>0>0>0q>0<0q>0>0>0FFxMqxMqxxxxxxQQxx<0xq>0<0xq>0x=q=qq==q=q==q<0q>0q<0q>0q常数常数常数常数q常数常数xxxxq=常数q=常数FFFFFFFFFFMMMFFFM转折MM转折QQ突变MQ突突变变转折转转折转折折转折FF突Q变突变突变QQCCFCC突变FQFF突变FMM转折CCQFF转折CCCFxxCCxxCxxxxCxxCCCCFFxxxCCxxCCCxCCmmmmFmmMMMmFFFFFmm突变MMMQQFQQQQMM突突变变FFM突变突变突变QQQ不变不变不变不变不不变变CCCCCCC不变CCCCCCC不变CCCmmxmmmmxxCCCCxCxxxmxxxxxCxCmxmxxCCxx利用剪力图和弯矩图的特点,可以定性地描绘剪力图和弯矩图,或校验剪力图和弯矩图。例8-6图8-16(a)所示简支梁,受均布(a)载荷和集中力共同作用,试绘梁的内力图。M(F)0(qAB)AB6kNACFDAD0(b)21qAB26kNACFD23kN所以AD由Fy0,得(c)得FA3kN(2)根据载荷作用位置把梁分成三段,并图8-16对各段的内力图形状作出分析判断,求出各段内力图的起点、终点和极值点的内力值,然后将其列表如下:梁段ABBCCDq/kNm1-300剪力图形状左高右低斜直线水平线水平线弯矩图形状开口向下抛物线斜直线斜直线横截面x值0122334/m3kN..mm3kNFQ值/kN3033333M值/?注:表中△→0。(3)根据上表,由左至右逐段画出剪力图,如图8-16(b)所示;画出弯矩图,如图8-17(c)所示,可见FQmax3kN,Mmax3kNm。8-7外伸梁与其所受载荷如图8-17(a)所示,试作梁的剪力图和弯矩图。8-17解按照前述使用的方法作剪力图和弯矩图时,应分段列出剪力方程与弯矩方程,然后按方程作图。现利用本节所得结论,可以不列方程而直接作图。(1)求支反力由 MA(F)0和MB(F)0可求得FA7kN,FB5kN(2)分段沿集中力作用线、均布载荷的始末端以与集中力偶所在位置进行分段。、BE四段。(3)作剪力图AC段在支反力FA的右侧梁截面上,剪力为7kN。截面A到截面C之间的载荷为均布载荷,即qAC常数。剪力图为斜直线。算出集中力F1左侧梁截面上剪力FQC左即可确定这条斜直线,见图8-17(b)。CD段截面C处有一集中力F1,剪力图发生突变,变化的数值等于F1。故从C到D剪力图又为斜直线,知DB段截面D与截面B之间梁上无载荷,剪力图为水平线。BE段??截面B与截面E之间剪力图也为水平线,算出截面B右侧截面上的FQB右 2kN,即可画出这一水平线。(4)作弯矩图AC段截面A上弯矩为零。从A到C梁上为均布载荷,且均布载荷向下,则弯矩图为上凸的抛物线。算出截面C的弯矩为已知A点、C点弯矩以与抛物线为上凸,即可大致画出AC段的弯矩图。CD段由受力特性可知,从C到D弯矩图为上凸的另一抛物线。截面C的剪力突变,故弯矩图在C点斜率也突变。在截面F上的剪力等于零,故F点为弯矩的极值点。由CD段的剪力方程可计算出F至梁左端距离为5m,故可求出截面F上弯矩的极值为在集中力偶M0左侧截面上弯矩MD左为MD左 FA ADF1CD 12qADAD(782412188)kNm16kNm已知C、F与D左等三个截面上的弯矩,即可连成C到D之间的抛物线。DB段和BE段截面D上有一集中力偶,弯矩图突变,而且变化的数值等于M010kNm。所以在D右侧截面上MD右为B截面上的弯矩MB为由于DB段的剪力图为水平直线,于是由MD右和MB就确定了这条直线。B到E之间弯矩图也是斜直线,由于ME0,故可画出图示斜直线。从所得的剪力图(图8-17b)和弯矩图(图8-17c)上,不难确定最大剪力FQmax7kN,。要注意的是:Mmax不但可能发生在FQ0的截面上,也有可能发生在集中力或集中力偶作用处。所以求弯矩的最大值Mmax时,应综合考虑上述几种可能性。先假设M求为某一方向,(一般我是假设为逆时针,书上好像是把逆时针方向规定为正方向),然后对该分离体(或研究对象)列弯矩平衡方程(当然必须是在分离体弯矩平衡情况下):M总=0。MA+MB+MC+M求=0。(注意对于MA、MB、MC,如果是逆时针的取正值,顺时针取负值。),此时如果球出的M求为正值,则它就是逆时针的,如果是负值,那它的方向与假设方向是相反的,是顺时针。也可以把所有顺时针的弯矩全取正值放在等号左边相加,把所有逆时针的也取正值但放在等号右边相加(其实跟上面是一样的,也是得假设M求为某一方向)列平衡方程。??那还不简单,不同X对应不同的弯矩了,要看X等于多少了。不知道你的是不是结构构件上的弯矩,结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正,反之为负。我不知道你的原题是什么样的,X表示的是什么。如果X表示的是位置坐标,那么M求=AX2+BX+C表示的是构件上的弯矩分布函数,不同位置对应不同的弯矩,也就是说构件上弯矩有的地方正有的地方负,凡是求出是正值的就与假设方向或默认方向相同,反之相反。如果X表示的是某个构件的长度,也是一样判方法。还有一个可能是你所算的是一种动态情况,就是某个东西在动,导致弯矩是个变量,也是一样的。总之一句话,要看X值的情况。最好把原题放上来,这样更有针对性。??你的应该是结构力学方面的,结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正,反之为负。所以假设时应假设成如图方向。弯矩图都是画在受拉一侧的,所以凡是出现正值的区域就把弯矩图画在上面,出现负值的就画在下面,过度地带就是为0的地方。强调一下,假设没有什么对或错的,M求>0对应的X处弯矩跟假设的方向就是相同的,正的,M求<0对应的XX围处弯矩方向就是跟假设相反,无论假设方向怎么样求出的弯矩都是一样的。、一般规定梁的哪侧纤维受拉就画在哪侧的一般规定下侧受拉为正弯矩。建筑力学中弯矩剪力图方向悬赏分:30-解决时间:2010-2-211:27我不知道画上边还是下边左边还是右边,希望举个简支梁的例子详细说明说的明了给加分你把梁想象成柔性的,梁的变形和图像要一致!即往哪儿变形画那边比如,简支梁上面作用一集中力,画下面。如果作用一力偶,1,力偶顺时针时,左边上,右边下;2力偶逆时针时,相反。如果作用均布力,也画下面。(如图) 。。 。根据上述微分关系,由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。例如:,即,则该段梁的剪力为常量,剪力图为平行于轴的直线;而弯矩为的一次函数,弯矩图为斜直线。(常量),则该段梁的剪力为的一次函数,剪力图为斜直线;而为的二次函数,弯矩图为抛物线。在本书规定的坐标中,当(向上)时,弯矩图为向下凸的曲线;当(向下)时,弯矩图为向上凸的曲线。,根据,该截面的弯矩为极值。利用以上各点,除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外,还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图,而不必再建立剪力方程和弯矩方程,其步骤如下:;;,根据微分关系绘剪力图和弯矩图; 和