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三角函数诱导公式揭秘
无论在哪本教材中,三角函数诱导公式这一节所涉及到的公式都是相当得多。在许多参考书里共同提到了记忆诱导公式的统一口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。多少年来,参考书这么写,老师们这么教,但是教材却从没有简化,原因何在?
 
本文首先对该口诀进行必要的介绍,然后尝试去探寻众多诱导公式的联系及内涵,进而对教材内容的编排提出自己的理解。
 
一、口诀解析
 
任意一个角都可以表示为的形式。当把任意角化为该形式后,利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”,就能把任意角转化到之间,即初中所学,学生熟悉的锐角三角函数值问题了。
 
下面对该口诀进行必要的解析:
 
①“奇”与“偶”:是指把任意角化为的形式中的奇偶性,即是奇数还是偶数;
 
②“变”与“不变”:是指三角函数的名称改变与否,即若变,则正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切。
 
综合①②,“奇变偶不变”是说,把任意角化为的形式后,若是奇数则三角函数名称改变,若是偶数则三角函数名称不改变。
 
③“象限”:是指把任意角化为的形式后,假设时,所在的象限。
 
④“符号”:是指在确定所在的象限后,相应的原三角函数值的符号(如下图)。
 
二、诱导公式的内在联系
 
教材中所给的诱导公式,集中体现了数学中的化归与转化思想。在求任意角的三角函数值时,其基本思路为:负角正角内的角内的角。
 
根据这个思路,运用口诀“奇变偶不变,符号看象限”化简,就不可能充分地体现出来,并且在口诀中,任意角所在象限的判断也是相当麻烦的。
 
下面,针对教材中所给的三角函数诱导公式及化归与转化思路,将它们划分为三类诱导公式。
 
①名不变,奇偶(繁角简角)
 
如果任意角可以表示成,即含有的整数倍,则选用第一类诱导公式。利用该公式可将繁杂角化为简单的角。
 
第一类诱导公式:正弦函数、余弦函数的名称不改变,化简后的符号随的奇偶性而改变──奇数、偶数。即
,;
可得:.
 
②名改变,正余(钝角锐角)
 
利用其余诱导公式先化简,若出现的形式,即含有,则选用第二类诱导公式。该公式是开篇口诀的特例。
 
第二类诱导公式:正弦函数、余弦函数的名称改变,化简后的符号由原式三角函数名确定──正弦、余弦。即
;
可得:.
 
③奇偶性,正奇余偶(负角正角)
 
对于函数,若函数为奇函数,则;若函数为偶函数,则。
 
第三类诱导公式:正弦函数为奇函数;余弦函数为偶函数。即
;
可得:.
 
综上所述,三角函