浅析无理型函数值域的几种常规求法.doc

浅析无理型函数值域的几种常规求法
一、观察法:通过对函数定义域及其解析式的分析,从而确定函数值域。
=3+值域。
解:∵≥2,∴函数值域为[5,+。
二、单调性法:如果函数在某个区间上具有单调性,那么在该区间两端点函数取得最值。
=x-的值域。
解:函数的定义域为,函数y=x和函数y=-在上均为单调递增函数,故y≤=,
因此,函数y=x-的值域是(-∞,]。
三、换元法:通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。
=x+的值域。
解:定义域为x ∈,令t= (t≥0),则x=
于是y=-(t-1)2+1,由t≥0知函数的值域为﹙-∞,1]。
本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域,但是换元后要注意新元的范围。
对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数。
例4. 求函数的值域。
解:令,则且,则
。当,即时,,当时,。故函数值域为。
另外对于根号下的是2次的,我们同样可以处理:
=x+的值域。
解:∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴设x=cos,∈[0,]
则y=cos+sin=sin(+),
∵∈[0,],∴+∈[,],∴sin(+)∈[-,1],
∴sin(+)∈[-1,],∴函数y=x+的值域为[-1,]。
其次如果有两个根号的话,我们也可以处理:
例6. 求函数的值域。
解:由,得。
令且,
则。
由,得,
则,故函数的值域为。
对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,即可化为型的函数。
四、配方法:通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数,借助配方法求函数的值域,要注意x的取值范围。
=的值域。
解:∵1-x≥0,且x≥0,∴ 0≤x≤1,又y>0,
∴y2=x+1-x+2=1+2
令t=-x2+x=-(x-)2+,∵0≤x≤1,∴0≤t≤,∴0≤≤,∴y2∈[1,2],
∴函数y=的值域为[1,]。
五、数形结合法:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。
(x)=-的值域。
解:f(x)=-=-
f(x)表示动点P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差,求f(x)的值域就转化为求
P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差的范围问题(如图),