小学奥数几何五大模型蝴蝶模型.doc

该【小学奥数几何五大模型蝴蝶模型 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【11】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【小学奥数几何五大模型蝴蝶模型 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OCS1S2:S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为 3平方千米,公园由陆地面积是 ,求人工湖的面积是多少平方千米?【分析】根据蝴蝶定理求得 S 3 1 2 ,公园四边形 ABCD的面积是△AOD1 2 3 ,所以人工湖的面积是 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成 4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求:⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC?【解析】⑴根据蝴蝶定理, SVBGC 1 2 3,那么⑵根据蝴蝶定理, AG:GC 1 2:3【例2】四边形ABCD的对角线 AC与BD交于点SVBGC 6;6 1:3.(O(如图所示???))。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且AO2,DO3,那么CO的长度是DO的长度的_________倍。3【解析】在本题中,四边形 ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD:SVBCD1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作 AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论: 三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一:∵ AO:OC SABD:SBDC 1:3,∴OC 2 3 6,OC:OD6:32::作AHBD于H,CGBD于G.∵SABD1SBCD,13CG,∴AH31∴SAODSDOC,13CO,∴AO3∴OC236,OC:OD6:32:1.【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6。求:⑴求△OCF的面积;⑵求△GCE的面积。【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为244616,那么△BCO和CDO的面积都是1628,所以△OCF的面积为844;⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为862,根据蝴蝶定理,EG:FGSCOE:SCOF2:41:2,所以SGCE:SGCFEG:FG1:2,【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【解析】在VABE,VCDE中有AEBCED,所以VABE,VCDE的面积比为(AEEB):(CEDE)。同理有VADE,VBCE的面积比为(AEDE):(BEEC)。所以有SV×SV=SV×SV,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,ABECDEADEBCE有图形分成上、下、左、右4个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即SVABE6=SVADE7,所以有VABE与VADE的面积比为7:6,73921公顷,SVADE=63918公顷。SVABE=7766显然,最大的三角形的面积为21公顷。【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为。【解析】连接AD、CD、BC。则可根据格点面积公式,可以得到ABC的面积为:1412,ACD的面积为:,ABD的面积为::ODSABC:SACD2::7,【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。【解析】因为BD:CE2:5,且BD∥CE,所以DA:AC2:5,SABC5,SDBC5210257.【例6】(20077年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE2EC,CFFD,求三角形AEG的面积.【解析】,CFFD,所以SDEF(111),根据蝴蝶定理,AG:GF1:16:1,,【例7】如图,长方形ABCD中,BE:EC2:3,DF:FC1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长方形ABCD的面积.【解析】连接AE,:EC2:3,DF:FC1:2,所以SVDEF(311),11,所以S5S10平方厘米,所以SVAEDS长方形ABCDAG:GF:5:,【例8】如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角形BDG的面积.【解析】设BD与CE的交点为O,连接BE、:OCSVBED:SVBCD,而SVBED1SWABCD,SVBCD1SWABCD,42所以EO:OCSVBED:SVBCD1:2,,所以EF1EC,故EO:EF2:3,FO:EO1::SVBEDFO:EO1:2,所以SVBFD1SVBED1SWABCD,(平方厘米).SVBFDSWABCD16216【例9】如图,在ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1,则MNC的面积是.【解析】这道题给出的条件较少,,根据共边定理我们可以得SANMSABM33322,.,SMNCSMBCx13x2【例10】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.【解析】如图,设B6A2与B1A3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3一样大小的三角形组成,只要求出了A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,、B6B1、”1“,则B1A2B6面积为”1“,A1A2B6面积为”2“,那么A6A3B6面积为A1A2B6的2倍,为”4“,梯形A1A2A3A6的面积为224212,A2B6A3的面积为”6“,,B1OA3OSB1A2B6:SA3A2B61:6,故SAOA36,SBAA12,2161237所以梯形12,即A2OA3的面积为梯形A1A2A3A6面积的1,故为六SA2OA3A1A2A3A6:12:1:7:S77边形A1A2A3A4A5A6面积的1,那么空白部分的面积为正六边形面积的163,所以阴14147影部分面积为200931148(平方厘米).17板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理” ):①S1:S3 a2:b2②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab;2③S的对应份数为 a b .梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例11】如图,S22,S34,求梯形的面积.【解析】设S1为a2份,S3为b2份,根据梯形蝴蝶定理,S34b2,所以b2;又因为S22ab,所以a1;那么S1a21,S4ab2,所以梯形面积SS1S2S3S412429,或者根据梯形蝴蝶定理,【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是________平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶定理,SVAOB:SVBOCa2:ab25:35,可得a:b5:7,再根据梯形蝴蝶定理,SVAOB:SVDOCa2:b252:7225:49,所以SVDOC49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为25353549144(平方厘米).【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的2,:b2【解析】根据梯形蝴蝶定理,SVAOB:SVBOC2:3,可以求出a:b2:3,再根据梯形蝴蝶定理,SVAOD:SVBOCa2:b222:324:,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例13】(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO1,并且三角形ABD的面积3,那么OC的长是多少?三角形CBD的面积5三角形ABD的面积AO,所以AO3,又AO1,所以CO5【解析】根据蝴蝶定理,【例14】梯形的下底是上底的,,三角形OBC的面积是9cm少?【解析】根据梯形蝴蝶定理,a:b1::3,SAOD:SBOCa2:b222:324:9,所以SAOD4cm2.【巩固】如图,梯形ABCD中,AOB、,求梯形ABCD的面积.【解析】根据梯形蝴蝶定理,SVAOB:SVACODa2:b24:9,所以a:b2:3,SVAOD:SVAOBab:a2b:a3:2,,【例15】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形的面积;三角形的面积等于三角形的面积,所以四边形EGFHADGBCHEFH的面积是112334.【巩固】(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为________.【解析】做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36416,【例16】如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,.【解析】因为M是AD边上的中点,所以AM:BC1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG2()()2,设S△AGM1份,则1:12:12:21:2:2:4S△MCD123份,所以正方形的面积为1224312份,S阴影224份,所以S阴影:S正方形1:3,所以S阴影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.【解析】连接DE,根据题意可知BE:AD1:2,根据蝴蝶定理得S梯形(29(平方厘米),)12S△ECD3(平方厘米),那么SWABCD12(平方厘米).【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.【解析】因为E,F是DC边上的三等分点,所以EF:AB1:3,设S△OEF1份,根据梯形蝴蝶定理可以知道S△AOES△OFB3份,S△AOB9份,S△ADES△BCF(13)份,因此正方形的面积为44(13)224份,S阴影6,所以S阴影:S正方形6:241:4,所以S阴影3平方厘米.【例18】如图,在长方形ABCD中,AB6厘米,AD2厘米,AEEFFB,求阴影部分的面积.【解析】方法一:如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,:DC1:3,根据梯形蝴蝶定理,SVDEO:SVEFO3:1,所以SDEO3SDEF,而V4VSVDEFSVADE2平方厘米,,,FC,由于EF:DC1:3,设S△OEF1份,根据梯形蝴蝶定方法二:如图,连接理,S△OED3份,S梯形EFCD(13)216份,S△ADES△BCF134份,因此S长方形ABCD416424份,S阴影437份,而S长方形ABCD6212平方厘米,【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:CE3:2,.【解析】,BC:CE3:2,所以CE:AD2:3,根据梯形蝴蝶定理,SVCOE:SVAOC:SVDOE:SVAOD22:23:23:324:6:6:9,所以SVAOC6(平方厘米),SVAOD9(平方厘米),又SVABCSVACD6915(平方厘米),阴影部分面积为61521(平方厘米).【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.【分析】,所以AECD也是梯形,,SOCDSOAESOCESOAD4936,故S236,OCD所以SOCD6(平方厘米).【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.【解析】,所以AECD也是梯形,,SOCDSOAESOCESOAD2816,故S216,所以OCDSOCD 4(平方厘米).另解:在平行四边形ABED中,SADE1SYABED116812(平方厘米),22所以SAOESADESAOD1284(平方厘米),根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8244(平方厘米).【例20】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是5平方厘米,:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?【分析】连接BF,根据梯形模型,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为1010520(平方厘米),所以长方形的面积为2010260(平方厘米).四边形ABEF的面积为605102025(平方厘米).【巩固】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是4平方厘米,:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?【解析】(法1)连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为6649(平方厘米),所以长方形的面积为96230(平方厘米).四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米).(法2)由题意可知,EF42,根据相似三角形性质,EDEF2,所以三角形BCE2EC63EBEC3的面积为:9(平方厘米).则三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为6315230(平方厘米).四边形ABEF的面积为3046911(平方厘米).【巩固】(98迎春杯初赛)如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,?【解析】因为连接ED知道△ABO和△EDO的面积相等即为54,又因为OD∶OB=16∶9,所以△AOD的面积为5491696,根据四边形的对角线性质知道:△BEO的面积为:,所以四边形OECD的面积为:(平方厘米).【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米.【解析】连接DE、,所以SEODSVFOC,又根据蝴蝶定理,SEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816,所以SEOD4(平方厘米),SECD4812(平方厘米).那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米,四边形OFBC的面积为245289(平方厘米).【例22】(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,.【解析】解法一:连接DE,依题意SVAOB1BOAO19AO54,所以AO12,,所以OE326,1133,:由于SVAOD:SVAOBOD:OB16:9,所以S5416AOD96,而V9SVDOESVAOB54,根据蝴蝶定理,SVBOESVAODSVAOBSVDOE,所以SVBOE545496303,【例23】如图,ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,,AK:KB1:3,则BKD的面积是多少?【解析】由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,,:KB1:3,所以ACK的面积是ABC面积的131,,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且AMDE,可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等,【例24】如图所示,ABCD是梯形,,ABF的面积是9,?【解析】根据梯形蝴蝶定理,可以得到SAFBSDFCSAFDSBFC,而SAFBSDFC(等积变换),所SAFBSCDF993,,而SAFB:SBFCAF:FC9:271:3,所以阴影AEC的面积是:.【例25】如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?【解析】连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积886.【例26】183如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,①~⑥这6部分组成,其中②比⑤?【解析】因为E是DC中点,F为AC中点,有AD2FE且平行于AD,③=④,②×⑤=③×④,②:⑤=AD2:FE2=②-⑤=6,所以⑤=6(41)2,②=⑤48,所以②×⑤=④×④=16,而③=④,所以③=④=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,,即为1:=4,,所以VABD与VADC的面积相等,而VABC4-133的面积为VABD、VADC的面积和,.【例27】如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为.【解析】本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,:取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,,,,下底解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为都为6,上底、下底之比为2:61:3,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为2:13:121:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形13:3面积的9,阴影部分的面积占该梯形面积的7,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之1616和的7,那么阴影部分的面积为7(6222)【例28】如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE2BE,CF2DF,连接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形G,设正方形MGQA的面积为S1,G的面积为S2,则S1:S2___________.【解析】连接BD、,则CECF2,BEDF1,所以,EF222228,,,得S△GEF:S△GBD:S△DGF:SnBGEEF2:BD2:EFBD:EFBD8:18:12:124:9:6:6,所以,S△△BCD3329,6252S△CEF2222,所以S梯形BDFES△BCDS△CEF5,所以,S△△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长,3216,55ND369,5523:2,则S1:S29:4.【例29】如下图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD2AB,点E、F分别是AD和BC的中点,已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米,则梯形ABCD的面积是平方厘米.【解析】连接EF,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小三角形之间的比例关系,,,:EFa:3a2:3,EF:DC3a:2a3:,所以S梯形ABFE:S梯形EFCDABEF:EFDCa3a:32a5:7,2a2故S梯形ABFE5S,:23:23:32根据梯形蝴蝶定理,梯形ABFE内各三角形的面积之比为4:6:6:9,所以SEMF9S95S3;SV4669梯形ABFE251220同理可得SENF9S97S3S,V91212梯形EFCD49122816所以SEMFNSSENF3S39S,由于SEMFN54平方厘米,EMFSVV2028359所以S54210(平方厘米).35【例30】(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m,那么,(mn)【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,,.