线性代数总结.pdf

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向量;用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:√矩阵方程的解法:设法化成当时,√和同解(列向量个数相同),则:①它们的极大无关组相对应,从而秩相等;②它们对应的部分组有一样的线性相关性;③它们有相同的内在线性关系.√判断是的基础解系的条件:①线性无关;②是的解;③.①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.:..原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关.⑤两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.⑥向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.⑦.⑧维列向量组线性相关;维列向量组线性无关.⑨.⑩若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,,,::矩阵与等价作为向量组等价,即:≤.向量组可由向量组线性表示,且,,且可由线性表示,则≤.向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价;,,,则,若,的行向量线性无关;若,的列向量线性无关,即::..矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:伴随矩阵的性质:线性方程组解的性质:√设为矩阵,若,则,,一定不是唯一解.,.√矩阵的秩的性质:①②≤③≤:..④⑤⑥≥⑦≤⑧⑨⑩且在矩阵乘法中有左消去律:标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量.√内积的性质:①正定性:②对称性:③双线性:施密特线性无关,单位化:正交矩阵.√是正交矩阵的充要条件:的个行(列)向量构成的一组标准正交基.√正交矩阵的性质:①;②;③是正交阵,则(或)也是正交阵;④两个正交阵之积仍是正交阵;⑤正交阵的行列式等于1或-.√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.√若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.√√若,则一定可分解为=、,从而的特征值为:,.√若的全部特征值,是多项式,则:①的全部特征值为;:..当可逆时,的全部特征值为,的全部特征值为.√√与相似(为可逆阵)记为:√相似于对角阵的充要条件:,为的特征向量拼成的矩阵,为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.√可对角化的充要条件:为的重数.√若阶矩阵有个互异的特征值,(为正交矩阵)√相似矩阵的性质:①若均可逆②③(为整数)④,从而有相同的特征值,:是关于的特征向量,是关于的特征向量.⑤从而同时可逆或不可逆⑥⑦√数量矩阵只与自己相似.√对称矩阵的性质:①特征值全是实数,特征向量是实向量;②与对角矩阵合同;③不同特征值的特征向量必定正交;④重特征值必定有个线性无关的特征向量;⑤必可用正交矩阵相似对角化(一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=).:(称是的相似标准型)√若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算).√设为对应于的线性无关的特征向量,则有:.√若,,则:.√若,则,.:()√两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数.√两个矩阵合同的充分条件是::..两个矩阵合同的必要条件是:√经过化为标准型.√二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.√当标准型中的系数为1,-1或0时,则为规范形.√实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.√用正交变换法化二次型为标准形:①求出的特征值、特征向量;②对个特征向量单位化、正交化;③构造(正交矩阵),;④作变换,新的二次型为,,.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.√合同变换不改变二次型的正定性.√成为正定矩阵的充要条件(之一成立):①正惯性指数为;②的特征值全大于;③的所有顺序主子式全大于;④合同于,即存在可逆矩阵使;⑤存在可逆矩阵,使(从而);⑥存在正交矩阵,使(大于).√成为正定矩阵的必要条件:;.、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错,知识前后紧密联系是线性代数课程的特点,故考生应充分理解概念,掌握定理的条件、结论、应用,熟悉符号意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,使学知识能融会贯通,举一反三,根据考试大纲的要求,这里再具体指出如下:行列式的重点是计算,利用性质熟练准确的计算出行列式的值。矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外,主要也是运算,其运算分两个层次,一是矩阵的符号运算,二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中,首先进行矩阵的符号运算,将矩阵方程化简,然后再代入数值,算出具体的结果,矩阵的求逆(包括简单的分块阵)(或抽象的,或具体的,:..A-1=1A*,或A用初等行变换),A和A*的关系,矩阵乘积的行列式,方阵的幂等也是常考的内容之一。关于向量,证明(或判别)向量组的线性相关(无关),线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握,并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。向量组的极大无关组,等价向量组,向量组及矩阵的秩的概念,以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。在Rn中,基、坐标、基变换公式,坐标变换公式,过渡矩阵,线性无关向量组的标准正交化公式,应该概念清楚,计算熟练,当然在计算中列出关系式后,应先化简,后代入具体的数值进行计算。行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容,它们不是孤立隔裂的,而是相互渗透,紧密联系的,例如?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r(A)=n(满秩阵)〈===〉A的列(行)向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有(唯一)解〈===〉A=P1P2…PN,其中PI(I=1,2,…,N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换I〈===〉A的列(行)向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件,故对考生而言,应该认真总结,开拓思路,善于分析,富于联想使得对综合的,有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量,对具体给定的数值矩阵,一般用特征方程?OλE-A?O=0及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围),可用定义Aξ=λξ,同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用,二是有关相似矩阵和相似对角化的问题,一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵,反过来,可由A的特征值,特征向量来确不定期A的参数或确定A,如果A是实对称阵,利用不同特征值对应的特征向量相互正交,有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量,从而确定出A。三是相似对角化以后的应用,,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:一是化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用标准形,规范形,特征值等到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。:..往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。例如,矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…αm)与B=(β1,β2,…βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A~BAB,即相似是合同的充分条件。线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复****时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。例如:设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n进而可求矩阵A或B中的一些参数再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理P-1AP=∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线性无关的特征向量所构成,:..λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x=0的基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似对角化,则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。又比如,对于n阶行列式我们知道:若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当|A|≠0时,可用克莱姆法则求Ax=b的惟一解;可用|A|证明矩阵A是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1;对于n个n维向量α1,α2,…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否为零来判断向量组的线性相关性;矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A)<r,则A中r阶子式全为0;求矩阵A的特征值,可以通过计算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A的特征值,则行列式|λ0E-A|=0;判断二次型xTAx的正定性,可以用顺序主子式全大于零。凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。三、注重逻辑性与叙述表述线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复****整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。线性代数中常见的证明题型有:证|A|=0;证向量组α1,α2,…αt的线性相关性,亦可引伸为证α1,α2…,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系;证秩的等式或不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs线性表出);对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等。《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课,线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法,将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究,是将中学一元代数推广为处理:..:数组;一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究,,我们就要用适当的学****方法面对。这里给出五点建议:一、线性代数如果注意以下几点是有益的由易而难线性代数常常涉及大型数组,故先将容易的问题搞明白,再解决有难度的问题,例如行列式定义,首先将3阶行列式定义理解好,自然可以推广到n阶行列式情形;由低而高运用技巧,省时不少,无论是行列式还是矩阵,在低阶状态,找出适合的计算方法,则可自如推广运用到高阶情形;由简而繁一些运算法则,先试用于简单情形,进而应用于复杂问题,例如,克莱姆法则,线性方程组解存在性判别,对角化问题等等;由浅而深线性代数中一些新概念如秩,特征值特征向量,应当先理解好它们的定义,在理解基础之上,才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用,一步步达到运用自如境地。二、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。1、线性代数的概念很多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线