统计物理学.doc

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。个人采集整理仅供参照学****第2章经典统计物理学如前所说,以原子分子假说为基础,,,热力学的实验结果因统计物理学的剖析被揭露出微观实质,双方面的研究互相印证,(包含理想气体)为模型,-1Boltzmann散布气体动理论的基本看法气体动理论(ictheory)的基本看法是:任何物体都是由大批分子、原子构成的;这些分子、原子在永不暂停地作无规则机械运动;分子、,上述三个基本看法的形成经过了漫长的光阴,,主要因为克劳修斯、麦克斯韦(JamesClarkMaxWell,1831-1879)和玻尔兹曼(LudwingBoltzmann,1844-1906)等人的工作,分子动理论才成为定量的系统理论,,仅用于个人学****在气体动理论形成的历史进度中,布朗运动((Brownmotion)),英国医生布朗(RobertBrown,1773-1858)发现,浮在水中的菌类孢子在不断地运动,孢子越小,,但当他把孢子换成无机物小颗粒后,,有很多人对布朗运动提出过各种各种的解说,,人们才比较广泛地认识到,(thermalmotionofmolecules),,,仅用于个人学****经验表示,要使物体发生形变一定使劲,,、斥力斥力的大小与分子之间的距离相关,如图9-1-,分子间距r大于某个值a时,分子Oar间的作使劲表现为引力;分子间距r小于某个值a协力时,,是因为气体分子间距较大,、固体之所以难以被图2-1-1压缩,是因为液体、固体分子间距较小,,此中每个粒子能够被当作一个子系38/,则能够忽视它们之间的互相作用能,这样的系统就叫做近独立粒子系统(nearindependentparticlesystem),而系统的能量E等于每个粒子的能量i的和:文档采集自网络,仅用于个人学****NEi.(2-1-1)i1注意,在近独立粒子系统中,,若粒子之间没有互相作用,,仅用于个人学****子相空间如前所说,系统中每个粒子的状态都确立的状态叫做系统的一个微观态,,先来介绍子相空间(phasesubspace),仅用于个人学****我们知道,粒子在一维空间中的自由度是1,它的运动状态用两个变量(x,px)描绘,x是坐标,,它的运动状态用6个变量(x,y,z;px,py,pz),那么,三维空间中非刚性双原子分子的自由度是6,此中有分子质心的3个平动自由度,两个转动自由度和一个振动自由度,它的运动状态用12个变量(x,y,z,,,d;px,py,pz,l,l,pd)描绘,此中,是角坐标,l,l是角动量,d是原子间距,,仅用于个人学****质点在空间中地点的独立坐标叫做广义坐标(generalizedcoordinates),它可以是线量,也能够是角量,(generalizedmomentum),,自由度为r的质点有r个广义坐标q和r个广义动量p,也就是说,它的运动状态用2r变量(q,p)描绘,1,2,,叫做2r维相空间(phasespace),此中的每个点叫做一个相点(phasepoint),表示质点一个可能的运动状态(q,p).对于近独立粒子系统,因为每个粒子被当作一个子系,粒子的2r维相空间叫做子相空间(phasesubspace)或空间,,仅用于个人学****微观态的数目在由相同粒子构成的近独立粒子系统中,每个粒子拥有相同的子相空间,,在这个子相空间中就同时有N个相点,,,仅用于个人学****39/27个人采集整理仅供参照学****为了计算系一致个宏观态包含的微观态数目,把子相空间中N个相点可能出现的地区区分为k个细小地区:l(q1qrp1pr)l,(2-1-2)1,2,k,区分的原则是同在一个细小地区内的粒子拥有近似相等的能量,记作l,一个细小地区l叫做一个相格(phasecell).假定系统处于某个宏观态时,相格l内有al个粒子,即粒子数按相格的散布是al=(a1,a2ak).不言而喻,粒子数按相格的散布应知足下边的总粒子数和总能量条件:文档采集自网络,仅用于个人学****kkalN,allE.(2-1-3)l1l设相格l内有l个可供粒子据有的态(q,p)(1,2,r),,相格内每个粒子态据有的相体积0=,所以,相格l内l每个粒子可据有的微观态数都是l个,而al个粒子据有l个微观态的方式有all,当粒子数按相格的散布al给准时,所有粒子据有微观态的方式共k有alll1,此刻不过给定了各个相格中的粒子数,,所以,在给定了各个相格中的粒子数的条件下,粒子的组合数是文档采集自网络,仅用于个人学****N!.a1!a2!ak!上式是这样获取的:若不论粒子在哪个相格,所有粒子的摆列数是N!扣除各个相格内粒子的摆列数al!,,当系统处于某个宏观态,即当粒子数按相格的散布al给准时,该宏观态包含的微观态数目是文档采集自网络,仅用于个人学****WalN!kal.(2-1-4)lkllal!l1l1玻尔兹曼散布40/27个人采集整理仅供参照学****2-1-4)式表示,宏观态包含的微观态数目是粒子数按相格的散布al的函数,记作W(al).统计物理学的基本假定是:,粒子数按相格的最可几(mostprobabledistribution)散布就是微观态数W(al),对(9-1-4)取对数:文档采集自网络,仅用于个人学****lnWlnN!lallnlllnal!.为取极大值,令δlnWδlnlδ(lnal!)=0.(2-1-5)alll对斯特令公式(Stirlingformula)m!mmem2mπ取对数:lnm!m(lnm1)1ln(2mπ).当m很大时,m2lnm,忽视上式最后一项,得lnm!m(lnm1).(2-1-6)利用上式可由(2-1-5)式得δlnW(lnal)δ0.(2-1-7)lall由(2-1-3)式得δδ0,(2-1-3)式,对上两式乘以待定常数,,并从(2-1-7)式中减去,得δlnWδδlnallδ0文档采集自网络,,一定有lnall0,即有lallel.(2-1-8)这就是粒子数按能量的最可几散布,叫做玻尔兹曼散布(Boltzmanndistribution),两个待定常数,由(2-1-3)式确立:文档采集自网络,仅用于个人学****Nlel,Ellel.(2-1-9):的函数Zell,(2-1-10)l叫做配分函数(thepartitionfunction).当l0,配分函数变成积分:Zededq1dqrdp1dpr.(2-1-11)(2-1-9)式得eN,(2-1-12)0Z和ENlnZ.(2-1-13)文档采集自网络,(1)由(2-1-7)式可得2δlnalδal(δal)(2-1-8)(W)Wln12(δal)(δal)2al,有ln(WW),-1热现象的微观实质是什么?温度的微观意义是什么?什么是相空间?什么是子相空间?把子相空间区分为相格的原则是什么??-2正则系综回味上一节的内容,不难看出,,这个会合叫做微正则系综(micro-canonicalensemble).这一节将议论正则系综(canonicalensemble).所谓正则系综,,,接着导出正则系综下的热力学公式络,仅用于个人学****正则系综散布函数对玻尔兹曼散布(2-1-8)式除以系统的粒子数N,得每个粒子出此刻相格l42/27个人采集整理仅供参照学****内的均匀概率:al1l1el(2-2-1)文NelZl,N档采集自网络,仅用于个人学****上式最后一步利用了(2-1-12),粒子散布的概率密度是:1el.(2-2-2)Z如前所说,把粒子当作一个复杂子系,用复杂子系的微观态能量E取代上式中的l,并令eZ,于是有1eEeE.(2-2-3)Z这就是一个与巨大热源相均衡的子系统微观态的概率密度散布函数,叫做正则系综散布函数(distributionfunctionofcanonicalensemble).利用归一化条件文档采集自网络,仅用于个人学****d1,(2-2-4)可得ZeEd.(2-2-5)文档采集自网络,仅用于个人学****这就是正则系综配分函数,,上式应写成ZleEl.(2-2-6)文l档采集自网络,仅用于个人学****明显,只需将(2-1-10)和(2-1-11)式中的l换成E或El,就能够从这两式形式地获取(2-2-5)和(2-2-6),仅用于个人学****令Ae,由(2-2-4)式可得归一化常数:1.(2-2-7)AeEd内能,,内能就是UEdEeEdeeEdee,即UlnZ.(2-2-8)文档采集自网络,,外界对系统的作使劲(即广义力)是YE,所以,q从宏观意义上说,外界对系统的作使劲是:YEde1eEde1e,qqq即Y1q1lnZ.(2-2-9):p1lnZ.(2-2-10)V这就是压强的统计物理学一般表示式,,,系统的均衡态改变,概率密度的改变设为δ,,仅用于个人学****因为δEδδQEδd.(2-2-11)Eq,,若δ0,δQ0;,仅用于个人学****熵的统计物理学表示式对式子δQdUYdq乘以,因为lnZ是和q的函数,则有=,(2-2-12)(2-2-13)可知与1/T成比率,故有1.(2-2-14)kT44/27个人采集整理仅供参照学****如前所说,这里议论的是一个与巨大热源相均衡的子系统,所以,作为一个常数,必与温度相关,,仅用于个人学****将上式代入(2-2-12)式并利用(2-2-13)式可得dSkd,即Sk( )S0.(2-2-15)文档采集自网络,,S和Y已知,,将(2-2-8)式代入上式,并取熵的参照值S00,则有文档采集自网络,仅用于个人学****FUTSkT,或许FkTlnZ,(2-2-16)这就是自由能(freeenergy)-2什么是微正则系综和正则系综?写出内能、-,有:NEi,(2-3-1)(2-3-2)i1文档采集自网络,仅用于个人学****将这两式代入(2-2-5)式并利用(2-1-11)式,得NZN,eeidi(2-3-3)i1此中Zed.(2-3-4)文档采集自网络,仅用于个人学****2-3-3)式代入(2-2-8)和(2-2-10)式,得lnZUN,(2-3-5)45/27个人采集整理仅供参照学****p1NlnZ.(2-3-6)VV这两式就是求近独立粒子系统的热力学函数的基本公式.(2-3-3)式代入(2-2-15)式,得SS0kN(lnZlnZ).(2-3-7)另一方面,利用(2-1-6)式,由(2-1-4)(2-1-8)和(2-1-9)式代入上式,(2-1-12)和(2-1-13)式代入上式,得lnWN(lnZlnZ)(2-3-7)式,,将它并入到熵的参照值S0中去,得SklnWS0.(2-3-8)若令S00,则有SklnW.(2-3-9)文档采集自网络,仅用于个人学****这叫做玻尔兹曼关系(Boltzmannrelation),,,仅用于个人学****2-3-3)式代入(2-2-16)式,自由能FkNTlnZ.(2-3-10)思虑题2-3玻尔兹曼关系的微观意义是什么?2-4理想气体的热力学函数我们知道,从宏观意义上说,听从三个实验定律—Boyle定律、Gay-,从微观意义上说,什么气体是理想气体呢?我们把切合下边三个条件的气体叫做理想气体:(1),气体分子碰撞容器器壁时,分子自转角动量的改变对器壁所受正压力无贡献,故可不考虑气体分子的大小.(2)除了分子之间的碰撞,不考虑分子之间的互相作用以及外场(如重力场),气体分子之间的互相作使劲是气体的内力,而内力不改变气体的总动量.(3)气体分子之间46/,非弹性碰撞将改变气体分子的动能,进而改变气体的温度,,应用上一节的广泛性结论导出理想气体的热力学函数,,仅用于个人学****明显,依据上述理想气体的微观定义,,,仅用于个人学****p21(px2py2py2).(2-4-1)2m2m将上式代入(2-3-4)式,得Zedp2dpVe2m(px2py2py2),得3ZV2mπ2(2-4-2).将上式分别代入(2-3-5)和(2-3-6)式,得内能UNlnZ3NkT,(2-4-3)2这表示理想气体的内能是温度的线性增函数,而压强pNlnZNkT,(2-4-4)VV即有状态方程pVNkT.(2-4-5)文档采集自网络,仅用于个人学****所以,(2-4-2)式代入(2-3-7),得:SS0kN(lnZlnZ),这个式子其实不全对,,是因为在推导玻尔兹曼散布(2-1-8)式时认为粒子是可分辨的,但气体分子特别多(),,理想气体均衡态包含的微观态数应为W,于是有文档采集自网络,仅用于个人学****N!lnWallnlal(lnal1).N!ll47/27