数学Mathematics 20240118版本.pdf

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...............................................................................................................................................................61十三、常用方法......................................................................................................................................................................72赠言..............................................................75完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..4Mathematics第一章导数一、①定义域;②单调性、奇偶性、周期性;③极值;④间断点处的取值;⑤无穷处的取值;⑥:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..()=In,()=(e?1)=?e?1()=e,()=(?1)=?e?1minmin其中lim?ln=0→0In?1?1()=,()max=(e)=e()=??,()max=(1)=eee??()=()=ln编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..6Mathematics二、,因为高中数学的课本中没有讲到极限的定义,:不定式.(0)0设我们有两个函数()和(),若当=0时,有(0)=(0)=0,则称分式为型不(0)0定式;(0)∞同样地,若当→0时,有(0)=(0)=∞,则称分式为型不定式;(0)∞上面便是洛必达法则使用的前提条件,只有在满足条件时才能“洛”。洛必达法则:(0)0(0)′(0)定理1:若当=时,为型不定式,且′()和′()存在,则lim=;0()000→()′()0000(0)∞(0)′(0)定理2:若当→时,为型不定式,且′()和′()存在,则lim=;0(0)∞00→(0)′(0)0′(0)0∞(0)′(0)′′(0)若′()仍为型或型不定式,那么可以继续“洛”下去,lim=′()=′′()=?.00∞→0(0)00给原函数分离参数,对于满足洛必达条件的函数点利用洛必达法则取极限,从而得到必要性条件,?(1+)e???1sin常用的函数极限:lim(1+)=e;lim?=1;lim?=1;lim?=1.→+∞→0→0→∈[,],()≥0恒成立,可以通过如下计算参数的取值范围(注意是必要条件).举个例子,比如()≥0要在[0,+∞)恒成立,那么(0)就一定要先≥0,假如()<0了,那么就肯定不满足()≥0在[0,+∞)恒成立了;类似地,如果(0)已经=0了,那么为了要满足()≥0在[0,+∞)恒成立,(0)之后的函数一定要往上翘,就是′(0)一定要≥0,假如′(0)?<0了,那么(0)之后的函数就往下翘了,这样的话,后面的函数就<0了,就不能满足()≥0在[0,+∞):施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..Mathematics7所以有以下结果:()≠0()≥0①若{,令{,解得即为范围;()≠0()≥0()=0′()≠0′()≥0②若{,{′,令{′,解得即为范围;()=0()≠0()≥0()=0′()=0′′()≠0′′()≥0③若{,{′,{′′,令{′′,解得即为范围;()=0()=0()≠0()≥0……如果定义域为∈(,+∞)或∈(?∞,),只考察一个端点的取值情况即可,:端点值效应只能得出必要性条件,也就是出只能得出分类讨论的分界点,为什么呢?假如(0)=0,()≥0在[0,+∞)恒成立,虽然你通过端点值效应得到了一个参数的范围使得′(0)≥0了,也就是(0)之后的函数往上翘了,假如之后它又落下来怎么办呢?比如:,这种情况我们称之为“端点值效应失效”.但是不用担心,95%,我会放出端点值效应的步骤,=(,),一般来说我们将看作自变量,,,我们常常可以将函数由复杂的形式归结为简单的形式,()≥0恒成立的形式,转换为≥()或者≤(),用过计算(),()≥()恒成立的形式,转换为()?()≥0的形式,通过分析新函数?()=()?()的单调性情况(一般需要对于参数进行分类讨论),从而得到能使?()≥:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..8Mathematics整体讨论有些时候需要对?()()=()·ln这类式子中的()与ln分开,把()=()?e这类式子变形为?()e的形式,这样可以在求导讨论单调性的时候避免多次求导,从而简化过程(对数单身狗,指数找基友).例如:2+1①证明2+1≤e(≥0),构造()=;e??ln②证明?1≤0(>1),构造()=ln?√?1.√?()≥()的形式进行拟合,两边构造出同样的函数形式,从而得到新函数?(),将问题转换为?(1())≥?(2())的形式,通过计算?()的单调性得到1()≥2()(或≤),其中()的形式往往比较简单,=eln=lne,ln=ln的应用,从而实现幂、指、=e+ln;e=e+ln;e??=e?≥1+∈R=0编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..Mathematics912e≥1++≥0=02e≥e∈R=1ln≤?1>0=11ln≥1?>0=1ln?≤>0=ee编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..10Mathematics11ln?≥?>0=ee11ln≥(?)0<≤1=1211ln?≤(?)≥1=12≥sin≥0=0tan≥0≤≤=02编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..Mathematics1112sin≥?∈R=022cos≥1?∈R=02(1+)≥1+≥?1=①?1,2∈,(1)≥(2)???()min≥()max;②?1,2∈,(1)≥(2)???()max≥()min;③?1∈,?2∈,(1)≥(2)???()min≥()min;④?1∈,?2∈,(1)≥(2)???()max≥():施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..12Mathematics三、?()=()?()>0恒成立,通过对?()的单调性分析,得到?()的最值,再证明?()min>()与()的单调性分析,得到()与()的最值,再证明()min>()(其中一个常常是对数函数与多项式函数的组合,另一个则是指数函数与多项式函数的组合)组合而成,我们往往指对分离,然后研究函数的图像,两个函数图像凹凸性刚好相反,称“凹凸反转”,,使用时需要熟记常用函数的凹凸性(见六大同构函数).我们还需要掌握一个运算更加简便的判定凹凸性的方法:如果函数()在区间上二阶可导,则()在区间上是凸函数的充要条件是′′()≤0;()在区间上是凹函数的充要条件是′′()≥~:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..Mathematics13四、隐零点一般我们可以通过零点存在性定理得到区间(,)上存在唯一零点,但是我们无法计算出这个零点(或者试不出零点),这个时候我们可以设零点为=0(这里体现了“设而不求”的思想),即有()=0(或′()=0)成立,然后把这个等式带入要计算的式子中进行替换,将00原来的形式变简单(一般是把对数或指数函数替换为幂函数),、极值点偏移这类问题的函数零点一般有两个,可以设为1,2,即(1)=0,(2)=0,极值点偏移类问题一般为如下三种形式:1+2>;12>;(1,2)>().①通过对原函数单调性与极值的判断,我们一般能够得到1,2的取值范围,即<1<<2<(,可以为+∞);②将其转化为1>?2或2>?1(或1>或?2>);21③证明1与?2(或?1与)在同一单调区间内(如果1所属单调递增区间);2④此时要证1>?2?(或?1>),即证(2)=(1)>(?2)?(或(2)=(1)>2()),即证新函数()=(2)?(?2)>0(或?()=(2)?()>0)(或通过对零点方程组作比、做差等得到零点等式),令=(或12?1=),构造1=(),则2=()(或2=1+),最后代入零点不等式,()=0′()=011①构建零点方程组{或{′;(2)=0(2)=0②通过差式得到零点恒等式(??):(1,2)=(1)?(2)=0;③通过和式得到零点恒等式(????):?(1,2)=(1)+(2)=0;④联立零点恒等式(??)和(????)消去参数,得到新的函数g(1,2);编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..14Mathematics2⑤进行比值差值换元:不妨设0<1<2,令=,∈(1,+∞);或令=2?1,∈1(0,+∞),然后进行换元得到函数(),再通过求导分析()的单调性与最值,从而证明零点不等式()>()(如果原函数是指数型函数,则只可以用差值法;如果原函数是对数型函数,则只可以用比值法);⑥如果采用消参得到形式比较复杂,也可以将参数放缩掉,,得到2=(1),再代入零点不等式中,?11+2??1+??2e??2?e??1e??1+e??2√12<<或e2≤≤?(2>1>0)ln2?ln122?1222(???1)1令=,∈(1,+∞),换元后即为:<ln<√?,??+1√??编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..Mathematics15六、含三角函数的导数题含三角函数的导数题,由于受三角函数周期性的影响,单调区间往往有无穷多个,导致参数的讨论较为复杂,在做题的时候一定要做到精细讨论,具体细节如下::?1≤cos≤1,?1≤sin≤≤(≥0),sin≥?,而是将定义域分为多个部分,,π,2π等分段,也可以每隔整数个单位分段,,导函数由于包含三角函数导致其单调性也是不确定的,这个时候有三种选择:①利用导函数零点图,对定义域分段讨论单调性;②分离导函数中的三角函数部分,将零点图转换为交点图讨论单调性;③求二阶导数确定一阶导数单调性,,这个形式经常会出现在第二问的一二阶导函数中,,我们计算函数在特殊点处的取值情形,:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..16Mathematics七、微分不等式对于同时含有与()与′()的函数方程或不等式,我们一般都是进行构造函数.①若条件为′()+()≥0,可构造()=(),即()单调递增;′()②若条件为()?()≥0,可构造()=,即()单调递增;③若条件为′()+()≥0,可构造()=e(),即()单调递增;′()④若条件为()?()≥0,可构造()=??,即()单调递增;e⑤若条件为′()+()≥0,可构造()=(),即()单调递增;⑥若条件为′()+()≥0,可构造()=e(),即()单调递增;⑦若条件为′()cos?()sin≥0,可构造()=()cos,即()单调递增;⑧若条件为′()sin+()cos≥0,可构造()=()sin,即():施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..Mathematics17八、?()=,若()≥????对∈(?,]恒成立,求的取值范围.??∵()≥sin对∈(?,0]恒成立,∴esin?2+≤0对∈(?∞,0]恒成立,令()=esin?2+,∈(?∞,0],∴′()=e(sin+cos)?2+,∴′′()=2ecos?2,∵∈(?,0]?e∈(0,1],cos∈[?1,1],∴′′()=2ecos?2≤2?2=0,∴′′()≤0?′()在(?∞,0]上单调递减,(0)=0,′(0)=+1;可以应用“端点值效应”得到分类讨论点.①当+≥即≥?时,′()≥′(0)=+1≥0?()在(?∞,0]上单调递增,∴()≤(0)=0,满足条件;②当+<即<?时,∵′(0)=+1<0,又→?∞时,′()→+∞,∴′()在(?∞,0]上有唯一零点,记为,0当∈(,0)时,′()<0?()单调递减,0∴∈(0,0)时,()>(0)=0,与题意矛盾,综上所述,的取值范围是[?1,+∞).编者:施博文完整不加密版见:新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495:..()=???+??,若()≥对∈[,+∞)恒成立,求的取值范围.′32()=e?+2?1,2′′()=e?3+2,∵(0)=0,′(0)=0,∴我们可以尝试使用端点值效应,′′1(0)=1+2≥0?