高考数学轮复习第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书13.doc

该【高考数学轮复习第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书13 】是由【小城故事书屋】上传分享，文档一共【12】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高考数学轮复习第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书13 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。学****资料汇编7第三节基本不等式a+≤2基本不等式建立的条件:a>0,b>:当且仅当a=(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);baa,b同号且不为零);(2)a+b≥2((3)≤a+b2(,∈R);ab2ab(4)a+b2a2+b2≤2(a,b∈R).>0,>0,则a,b的算术均匀数为a+b,几何均匀数为,基本不等式可表达为:>0,y>0,则假如xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小).q2(2)假如x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).41.(思虑辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)1的最小值是2.()函数y=x+x4π(2)函数f(x)=cosx+cosx,x∈0,2的最小值等于4.( )金戈出品xy(3)x>0,y>0是y+x≥2的充要条件.()31(4)若a>0,则a+a2的最小值为2a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×,∈R,且ab>0,则以下不等式中,恒建立的是( )+b2>+b≥2ab112a+b>abbaa+b≥2D[∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,,∵ab>0,∴b+a≥2b·a=2.]ababb4a3.(2016·绍兴二模)若a,b都是正数,则1+a1+b的最小值为()[∵a,b都是正数,∴1+a1+b=5+a+b≥5+2a·b=9,当且仅当b=2a>0时取等号,应选C.](x)=x+x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a等于()++[当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1+2≥2x-1+2=4,当且x-2x-21仅当x-2=x-2(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)获得最小值时,x=3,即a=3,选C.]5.(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场所,则矩形场所的最大面积是__________m2.【导学号:51062190】25[设矩形的一边为xm,矩形场所的面积为y,1则另一边为2×(20-2x)=(10-x)m,则y=x(10-x)≤x+-x2=25,2金戈出品当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]利用基本不等式求最值(1)若实数a,b满足12,则ab的最小值为( )+=(2)(2017·湖州二次质量展望)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+(1)C(2)3[(1)由a+b=ab知a>0,b>0,所以ab=a+b≥2ab,即ab≥22,12当且仅当a=b,即a=42,b=242时取“=”,所以ab的最小值为12ab,+=-x231313x3(2)由x+2xy-3=0得y=2x=2x-2x,则2x+y=2x+2x-2x=2+2x3x3≥22·2x=3,当且仅当x=1时,等号建立,所以2x+y的最小值为3.][规律方法],注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.,能够考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式.[变式训练1](1)(2017·金华十校4月联考)已知a>0,>0,且2a+=1,若不等式bb21恒建立,则的最大值等于( )+≥(2)(2017·杭州学军中学一模)已知实数,满足mn11m·n>0,m+n=-1,则++b2a+b2b2aba(1)B(2)-4[(1)∵a+b=a+b=4+a+b+1=5+2a+b≥5+金戈出品ba1212×2a×b=9,当且仅当a=b=+b≥m,∴m≤9,即m的最大值等于9,应选B.∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,11=-(+)11∴++nmnmnmnmnm=-2++≤-2-2·=-4,mnmn111当且仅当m=n=-时,+获得最大值-4.]2mn利用基本不等式证明不等式已知a>0,b>0,a+b=1,求证:111(1)a+b+ab≥8;11(2)1+a1+b≥[证明](1)a+b+ab=2a+b,∵a+b=1,a>0,b>0,11a+ba+bab∴a+b=a+b=2+b+a≥2+2=4,4分1111∴a+b+ab≥8(当且仅当a=b=2时等号建立).7分法一:∵a>0,b>0,a+b=1,1a+bb1a∴1+a=1+a=2+a,同理1+b=2+b,11ba∴1+a1+b=2+a2+ba5+2a+b≥5+4=9,12分∴1+11+1≥9(当且仅当1时等号建立).14分aba=b=211111法二:1+a1+b=1+a+b+ab,111由(1)知,a+b+ab≥8,12分金戈出品11111故1+a1+b=1+a+b+ab≥[规律方法]1.“1”的代换是解决问题的要点,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,,要点是所证不等式一定是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转变成“积”式或将“积”式转变成“和”式,达到放缩的成效,必需时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,[变式训练2]设a,b均为正实数,求证:a2+b2+ab≥22.[证明]因为a,b均为正实数,11112所以a2+b2≥2a2·b2=ab,4分11当且仅当a2=b2,即a=b时等号建立,又因为ab2+ab≥2ab2·ab=22,2当且仅当ab=ab时等号建立,112所以2+2+≥+≥22,12分abababab11当且仅当a2=b2,即===ab,基本不等式的实质应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法例限制50≤x≤100(单位:千米/时).假定汽油的价钱是每升2元,而汽车每小时耗油x22+360升,司机的薪资是每小时14元.(1)求此次行车总花费y对于x的表达式;当x为什么值时,此次行车的总花费最低,[解](1)设所用时间为t=x(h),130x2130y=x×2×2++14×x,x∈[50,100].4分360所以此次行车总花费y对于x的表达式是金戈出品y=130×18+2×130x,x∈[50,100x360].23401350,100(或y=x+18x,x∈[]).6分130×182×130(2)y=x+x≥2610,360130×182×130当且仅当x=360x,即x=1810,=1810千米/时,此次行车的总花费最低,[规律方法],,必定要在定义域(使实质问题存心义的自变量的取值范围)内求解.[变式训练3]某化工公司2016年年关投入100万元,,其余每年都要花销必定的保护费,第一年的保护费为2万元,因为设施老化,(单位:万元).用x表示y;当该公司的年均匀污水办理花费最低时,.[解](1)由题意得,100+++4+6++2xy=x,100*即y=x+x+(x∈N).6分由基本不等式得:y=x+100+≥2x·100+=,12分xx100当且仅当x=x,即x=[思想与方法]“和式”转变成“积式”和将“积式”转变成“和式”的放缩功能,所以能够用在一些不等式的证明中,,同时含有两个变量的和与积的形式,就能够直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转变,:(1)22+b2≥(,∈R,当且仅当=时取等号).a+b≥ab22ababaa2+b2a+b2(2)2≥2≥ab≥11(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).a+b[易错与防备],“一正”“二定”“三相等”.“当且仅当a=b时等号建立”的含义是“a=b”是等号建立的充要条件,这一点至关重要,(三十二)基本不等式A组基础达标金戈出品(建议用时:30分钟)一、>-1,则函数=+1的最小值为()yxx+1A.-[因为x>-1,则x+1>0,所以y=x+x+1=(x+1)+x+1-1≥2x+x+11-1=1,当且仅当x+1=x+1,因为x>-1,即当x=0时,上式取等号.],b,则“a+b≥2ab”是“b+a≥2”建立的()[因为a,b∈R时,都有a+b-2ab=(a-b)≥0,即a+b≥2ab,而b+a≥2?ab>0,所以“2+2ab]ab≥2”是“+≥2”.(2017·金华十校联考)函数fx-1的图象恒过定点A,若点A(x)=a-2(a>0,且a≠1)12)在直线mx-ny-1=0上,此中m>0,n>0,则+的最小值为(+2212[由题意知A(1,-1),因为点A在直线mx-ny-1=0上,所以m+n=1,所以+mn12n2=+m(m+n)=3++,mnmn因为m>0,n>0,12n2mn2m所以+=3++n≥3+2·nmnmm3+=时,取等号,应选D.]mn11124.(2017·湖州二模)已知a>0,b>0,a+b=a+b,则a+b的最小值为( )【导学号:51062191】+bB[由a>0,b>0,a+b=a+b=ab,ab=1,1212122则a+b≥2a·b==b,即a=2,b=.]1a+b5.(2017·杭州二中月考)若a>b>1,P=lga·lgb,Q=2(lga+lgb),R=lg2,则( )<P<<P<<Q<<R<QC[∵a>b>1,∴lga>lgb>0,1(lga+lgb)>lga·lgb,2a+b+b1aab=2(lg即Q>P.∵2>ab,∴lg2>lga+lgb)=Q,即R>Q,∴P<Q<R.]二、填空题6.(2017·)若2+4=4,则x+22[因为4=2xy=2x+22y≥22x2yx+2y,+4×2=22所以2x+2y≤4=22,即x+2y≤2,当且仅当2x=22y=2,即x=2y=1时,x+2y获得最大值2.](x)=x+x-1(p为常数,且p>0),若f(x)在(1,+∞)上的最小值为4,[由题意得x-1>0,f(x)=x-1+x-1+1≥2p+1,当且仅当x=p+1时取等号,所以2p+1=4,9解得p=.],每次都购置x吨,运费为4万元/次,一年的总存储花费为4万元,要使一年的总运费与总储存花费之和最小,则x=[每次都购置x吨,则需要购置400x次.∵运费为4万元/次,一年的总储存花费为4x万元,∴一年的总运费与总储存花费之和为4×400+×400∵4×x+4x≥160,当且仅当4x=x时取等号,∴x=20吨时,一年的总运费与总储存花费之和最小.]三、解答题389.(1)当x<2时,求函数y=x+2x-3的最大值;(2)设0<x<2,求函数y=x-[解](1)y=2(2x-3)+2-3+2x3-2x83=-2+3-2x+<2时,有3-2x>0,3-2x83-2x8∴2+3-2≥22·3-2=4,4分xx当且仅当3-2x=8,即x=--2x2355分于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.6222∵0<x<2,∴2-x>0,∴y=x-2x=2·x-x≤2·x+2-x=2,10分2当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴当x=1时,函数y=x->0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:xy的最小值;x+y的最小值.【导学号:51062192】82[解](1)由2x+8y-xy=0,得x+y=1,2分x>0,y>0,82828则1=x+y≥2x·y=xy,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,+8y-xy=0,得x+y=1,金戈出品