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4-4 §4 线性方程组的解的结构
回顾:线性方程组的解的判定
包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n .
包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b),并且
当R(A) = R(A, b) = n时,方程组有唯一解;
当R(A) = R(A, b) < n时,方程组有无限多个解.
引言
问题:什么是线性方程组的解的结构?
答:所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程组有无限
多个解时,解与解之间的相互关系.
备注:
当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构.
下面的讨论都是假设线性方程组有解.
解向量的定义
定义:设有齐次线性方程组 Ax = 0 ,如果
x1 = x11, x2 = x21,..., xn = xn1
为该方程组的解,则
称为方程组的解向量.
齐次线性方程组的解的性质
性质1:若 x = x1, x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,
则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解.
证明: A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 .
性质2:若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,k 为实数,
则 x = kx 还是 Ax = 0 的解.
证明: A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 .
结论:若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解, 则 x = k1x1 + k2x2 + …+ ktxt 还是 Ax = 0 的解.
结论:若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解, 则 x = k1x1 + k2x2 + …+ ktxt 还是 Ax = 0 的解.
已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量,可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解.
能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表示出来?
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S,若求得 S 的一个最大无关组S0:x = x1, x = x2, ...,, x = xt ,那么Ax = 0 的通解可表示为 x = k1x1 + k2x2 + …+ ktxt .
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系(不唯一).
回顾:向量组的秩的概念
定义:设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar,满足
①向量组 A0 :a1, a2, …, ar 线性无关;
②向量组 A 中任意 r + 1个向量(如果 A 中有r + 1个向量的话)都线性相关;
②' 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示;
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
向量组的最大无关组一般是不唯一的.
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基础解系的概念
定义:齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量:x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1,x2,...,xr 线性无关;
②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合,
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系.
后 n - r 列
前 r 列
设 R(A) = r ,为叙述方便,
不妨设 A 行最简形矩阵为
对应的齐次线性方程组
令 xr+1, …, xn 作自由变量,则
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ,则
齐次线性方程组的通解
记作 x = c1x1 + c2x2 + …+ cn-rxn-r .(满足基础解系②)