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函数
函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,,填空题、解答题中每年都有函数试题,.
考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
函数概念
(一)知识梳理

设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则

(1)函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为
(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则
:图象法、列表法、解析法
(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示.

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
(二)考点分析
考点1:映射和函数的概念
,,,则到的映射有个,到的映射有个,到的函数有个
例2. 函数的图象与直线交点的个数为个.
考点2:判断两函数是否为同一个函数
例1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1),; (2),
(3),;(4),
考点3:求函数解析式
方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出
题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
已知二次函数满足,求
例2.(09湖北改编)已知=,则的解析式可取为
题型2:求抽象函数解析式
,求
考点4:求函数的定义域
题型1:求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意:①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写.
例1.(08年湖北)函数的定义域为__________.
题型2:求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设,则的定义域为________.
已知函数的定义域为,求的定义域.
已知的定义域是,求函数的定义域.
(-2,0),求的定义域.
考点5:求函数的值域
求值域的几种常用方法
(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
如求函数,可变为解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
如函数就是利用函数和的值域来求.
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域.
如求函数的值域
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域. 如求函数的值域.
(5)换元法:运用换元法时,要特别要注意新元的范围.
①的值域为____________.
②的值域为___________.
(6),求及的取值范围.
(7)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值.
(8)对勾函数法像y=x+,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了
(1)如,求(2)x [-1,0 )(0,4],求值域
(2)如,求(1)[3,7]上的值域(2)单调递增区间.
(9)直接分析法.
设函数,
①若的定义域是R,求实数的取值范围;②若的值域是R,求实数的取值范围.
考点6:分段函数:
已知函数= .
已知函数的定义在上的奇函数,当时,,则不等式的解集是.
函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义:
设函数的定义域为,区间,如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间;如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,