三角函数经典题易错题选讲.doc

例1、若,则是第象限角。
例2、已知一扇形的周长为,当扇形的中心角为弧度时,它有最大面积.
例3、函数的值域是
例4、角的终边上有一点,则的值为
例5、若是第二象限角,试分别确定的终边所在的位置
例6、化简
例7、若,且,求的取值范围
例8、函数,若对一切恒成立,求的取值范围
例9、设二次函数,已知不论为任何实数,恒有和,
求证:
求证:
若函数的最大值为8,求的值。
例10、已知函数=;
当时,求的单调区间;
当且时,的值域是,求的值。
例11、已知函数
(Ⅰ)将函数化简成(,,)的形式;
(Ⅱ)求函数的值域.
本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.(满分12分)
解:(Ⅰ)

=
(Ⅱ)由得
在上为减函数,在上为增函数,
又(当),
即
故g(x)的值域为
三角函数的值域或最值
常见的三角函数最值的基本类型有:
(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型,利用,即可求解,此时必须注意字母a的符号对最值的影响。
(2)y=asinx+bcosx型,引入辅助角,化为y=sin(x+),利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。
(3)y=asinx+bsinx+c(或y=acosx+bcosx+c),型,可令t=sinx(t=cosx),-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
(4)Y=(或y=)型,解出sinx(或cosx),利用去解;或用分离常数的方法去解决。
(5)y=(y=)型,可化归为sin(x+)g(y)去处理;或用万能公式换元后用判别式去处理;当a=c时,还可利用数形结合的方法去处理上。
(6)对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题,常用的方法是令sinx±cosx=t,,将sinxcosx转化为t的函数关系式,从而化为二次函数的最值问题。
一、利用三角函数的有界性.
求解这类问题,:
例1:已知,f()=sin(cos)的最大值为a,最小值为b,g()=cos(sin)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d的大小顺序为。
例2 求函数的值域。
分析:原函数的解析式中只含有cosx的一次式,所以可反解出cosx,再利用余弦函数的有界性求出y的取值范围。
解:由又因所以。
解后反思:对本题也可先将函数式变为,所以知。
(2)可将函数化为的形式求解的问题,形如或者形如的函数适用。
例3 求函数的值域。
分析:此函数的解析式与上例不同,分式中的分子含有cosx的一次式,而分母是含sinx的一次式,不能直接解出cosx或sinx,通常是化作求解。
解法1:由得
所以所以
因为所以,由此解得
所以函数的值域为[-1,1]
解后反思:对此类问题也可通过几何方法来求解,现介绍如下:
解法2:由,设点P(sinx,cosx),Q(-2,0),则可看作是单位圆上的动点P与点Q连线的斜率,即。所以。所以函数的值域为[-1,1]
导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用

对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面,要求学生能够运