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组合数学基础
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组合数学基础

加法原理:
做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2种不同的方法,……,在第n类办法中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N= m1+m2+...+mn 种不同的方法。
乘法原理:
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1 种不同的方法,做第二步有 m2种不同的方法,……,做第n步有种mn不同的方法,那么完成这件事有 N=m1*m2*...*mn 种不同的方法。
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两个原理的区别:一个与分类有关,一个与分步有关;加法原理是“分类完成”,乘法原理是“分步完成”。
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、组合及计算公式

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
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组合及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, (n,m)表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
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可重复组合 如果上述组合定义中每一个元素可重复选取,则称为n元集中的可重复r-组合。n元集中的可重复r-组合的总数为C(n+r-1,r)。
证明:从n元集中可重复地选取r个元素,设第一个元素选x1个,第二个元素选x2个,……,第n个元素选xn个,则方程x1+x2+……+xn=r的非负整数解的个数就是n元集中的可重复r-组合的总数。该方程x1+x2+……+xn=r的一个非负整数解可解释为将r个1排成一排,插入n-1个分隔符,把r个1分成n段,n段中的1的个数即是方程的一个解。插入n-1个分隔符的过程实际上就是从n+r-1个位置中选择n-1个位置放分隔符,其余r个位置放1,共有C(n+r-1,n-1)=C(n+r-1,r)。
可重复组合也可解释为:有n类元素,每类的个数无限,从中取出r个元素的组合。
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C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n-1) +C(n,n)=2^n
证明:等式左边包含了n元集的从零个元素到n个元素的全部组合,每一种组合与一个n位二进制数一一对应,对应方式为:n 位二进制数共有n位,每一位对应n元集的一个元素,如果n 位二进制数某一位上为1,则表示选中该位对应的元素,否则表示未选中该位对应的元素,这样一个n位二进制数就对应一种组合;反过来每一种组合同样对应一个n位二进制数,而n位二进制数的总数为2^n。
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1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
……
杨辉三角的每一行中的第一个数和最后一个数均为1,其余位置上的数可利用其上一行中的数递推计算出来,其值为上一行中位于同一列和前一列的两个数之和。
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如果n+1个物体被放进n个盒子,那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。
例2:在13个人中必存在两个人,他们的生日在同一月份里。
例3:设有n对已婚夫妇。为保证有一对夫妇被选出,至少要从这2n个人中选出多少人?(n+1)

令q1,q2,...qn为正整数。
如果将 q1+q2+...+qn-n+1个物体放入n个盒子内,那么或者第一个盒子至少含有q1个物体,或者第二个盒子至少含有q2个物体,...,或者第n个盒子含有qn个物体.
例4:一篮子水果装有苹果、香蕉、和橘子。为了保证篮子内或者至少8个苹果或者至少6个香蕉或者至少9 个橘子,则放入篮子中的水果的最小件数是多少?(21件)
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6. 容斥原理及应用
设S为有穷集,P1,P2,……,Pm是m条性质。S中的任一元素x对于这m条性