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关于一类阿基米德三角形面积最小值的结论(《中学数学》2009年第5期高中版).doc

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关于一类阿基米德三角形面积最小值的结论
163316 黑龙江省大庆实验中学苏立志
对于抛物线,文[1]中有性质6如下:
若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为.
对于椭圆的底边过定点的阿基米德三角形面积问题,笔者通过简洁运算,得到了一个关于文[1]中性质6的结构优美的推广结论,自以为还是很有趣味的(尤其值得一提的是,推证过程中巧妙地运用了二元不等式,从而避开了求最值问题的烦杂计算),现呈现在下文,以期与读者共享.
推广1 设椭圆方程为,过(其中)的动直线与椭圆相交于点,椭圆的分别在处的切线相交于点,则当且仅当三点共线时,的面积取得最小值,此最小值为.
引理1(文[2]定理1)椭圆的过定点(其中,且)的动弦(不平行于焦点轴)的两端的切线交点的轨迹是直线:.
推广1的证明设,,,则,即,且过的切线分别为
,.
点在上,
,,
则直线方程为(1)
将椭圆方程与方程(1)联立,消去,整理得

则.
又点到直线的距离,
则.
令,则,且.
因为点在直线上,由引理1可知,再由不等式,得
,
从而,,当且仅当,即三点共线时取得等号.
因为,,面积取得最小值为.
对于抛物线和双曲线情形,敬请读者自行探究.
参考文献
邵明志,[J].数学通报,2008(9)
李永利,[J].数学通讯,2004(9)
(77)第10题[J].中学数学,2006(7)

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