牙膏商品价格与重量数学建模副本.doc

牙膏商品价格与重量的关系

摘要在超市购物时,我们注意到大包装商品比小包装商品便宜,,。我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析这个问题。问题一,分析商品价格C与商品重量W的关系。价格由生产成本、包装和其它成本等决定,这些成本中有的与重量W成正比,有的与表面积成正比,还有与W无关的因素。问题二,求单位重量c价格与W的关系,可以用简图分析。最后结合实验结论,对商家或顾客提出合理的建议。
一、问题分析
商品价格是由成本决定的,成本可分为生产成本、包装成本和其他成本。生产成本与重量W成正比, 包装成本与表面积成正比,其他成本与W无关。单位重量商品价格c=总价格/总重量。牙膏可以近似为圆柱体来思考。
二、模型假设
设如下变量:
商品价格:C 商品重量:W 单位重量价格:c
商品包装面积:S 生产成本:C1 包装成本:C2 其它成本:C3
三、模型建立与求解
商品价格由成本决定,商品成本=生产成本+包装成本+其他成本
故
生产成本与重量W成正比,设( k1为大于0的常数)
包装成本与表面积S成正比,商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装,牙膏包装与牙膏表面积有关,牙膏盒为长方体,牙膏盒包装面积S2。
牙膏可以近似为无底的圆柱体,则牙膏包装面积S1即圆柱体侧面积,
设此圆柱体的半径为R,高为L,
……………………①
由题意,我们需要将包装面积与商品重量联系在一起,故
我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半,则……………②
设牙膏密度为,则…………………………③
一般地,为了美观,牙膏的半径与长度有一定比例关系,在这里:
设 R=k2L ( k2为大于0的常数) ……………………④
根据②③④,可以得出:
半径……………………⑤
由①④⑤,得出:
我们可以把牙膏盒看成一个长为L,宽高都为2R的长方体,故
牙膏盒包装面积
再根据④⑤求得:
则包装成本,
k3 、k4 为大于0的常数,是包装价格与包装面积的比值
其他成本为固定常数,与W、S无关。
即
由于k1 , k2 , k3 , k4 ,都是大于零的常数,所以商品价格关于商品重量的函数是单调递增函数,所以商品重量增大,商品价格增大。
对于单位重量价格c与商品重量W的关系,我们已知
由于k1 , k2 , k3 , k4 ,都是大于零的常数,我们发现包装成本与商品重量成正比,可以简化为:
所以
四、模型解释
c-W的简图如下图所示:

对c求导:,说明单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数,即随着W的增加,c减小量始终在减少。
进一步求导,可知>0,则该函数图形为一个的凹形曲线。随着W的增大,c的减小幅度减小。当W很大时,无限接近于0,则c不再减小。由上图分析,亦可得到同样的结论。所以说,不要盲目追求太大包装商品。
牙膏是人们日常生活中不可缺少的日用品。目前市场上的牙膏琳琅满目,有国产的,也有美国、英国、韩国、法国等国进口的,价格从几元到上百元不等。随便到一家商场都能看到几十个品种,如佳洁士、高露洁、黑妹、黑人、中华、两面针、隆力奇、等。“佳洁士”又分为防蛀修护、特效、茶爽等多种。据网上资料显示,消费者选购牙膏分为四类:一是“高露洁”等外资、合资品牌,二是像“两