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中国煤炭经济学院学报 1 9 9 9 年第 3 期(总第 4 一期)
一类三次系统的细鞍点
. 韩玉良
文仁1 」研究了具有一个高阶奇点的三次系统
’一‘犷一
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价。乙 x ‘ n J ,
(夕= y + a 劣十 lx y 十饥夕十梦
, , 。, ,
其中原点。( 0 0) 是一个七阶结点当 a 十 l + m + 。) 0 时原点 O ( 0 0) 是唯一的有限奇
。。
点文[ 1〕给出了极限环存在性的一些条件
, ; 。
在本文中我们研究 a + l + m + 一一 1 的情形
, : , ,
设云一 x 夕一一 y 而且新的变量仍用 x 和 y 来表示则系统( l) 变成
,
·! : 2
、少‘|L万X四= 梦( 一梦)
( 2 )
二 3 Z 一 3 ,
+ y + : + 脚 y + 2 娜犷十了丁匆
, , , 。
其中刀尹占〔 R
, , , , : , 。
除原点。( 0 0 ) 外系统( 2 ) 还有两个有限奇点尸( 1 0 ) 和尸( 一 1 0 )
,
定理 1 在系统(2 ) 中设
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+’ l W ‘= ( 1 0 +’ 3 ’一2 l ) W - ’) ( 7’ 2 + 5 )
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则有
。, l :
( i ) 如果 W 共 0 尸和 p 是粗鞍点;
。, , , , 2
( i) 如果 W ~ 0 w 并 0 尸和尸是一阶细鞍点;
。 1 , Z , , 2
( i五) 如果 w 一评= 0 w 举 0 尸和尸是二阶细鞍点;
。, Z , 。
( i v ) 如果评~ W 一 W = 0 系统( 2 ) 是可积的
引理 1[z 〕对系统
、 a ,
、少、| . , “
l| XY 一 x****Aa X Y
“+ 声= 2
( A )
。, · , ,
一+ 艺。 X Y
一 a + 刀名 2
可以逐项确定形式级数
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, · 。· 。, , 一, , * ,
其中 h t 代表高阶项; 久称为 k 阶鞍点量而且如果久- ⋯~ 凡~ O 几并 0 则
8 0
, 。
O ( 0 0) 为系统(A ) 的 k 阶细鞍点
, 。
设: 一 X + Y y 一 X 一 Y, 由引理 1 可得到下述引理
引理 2 对系统
、 a 。· ,
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( B )
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