自动控制原理第2章 控制系统的数学模型.ppt

第2章控制系统的数学模型
内容提要
本章介绍系统的各类数学模型如微分方程,传递函数,方框图,信号流图的求取以及它们之间的相互关系。
知识要点
线性系统的数学模型,拉普拉斯变换,传递函数的定义,方框图的含义及简化,梅逊公式的含义和应用。
1、数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
1)动态模型:描述系统处于暂态过程中各变量之间关系的表达式,它一般是时间函数。
如:微分方程,传递函数,差分方程,状态方程等。
2)静态模型:描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数
2、建立动态模型的方法
1)解析法:依据系统各变量之间所遵循的定律定理建模。
2)实验法:用实验数据提供的信息,采用辨识方法建模。
3、建立动态模型的意义:找出系统输入输出变量之间的相互关系,以便分析设计系统,使系统控制效果最优。
§ 引言
列写系统微分方程的步骤
1、分析系统工作原理,将系统划分为若干环节,确定系统和环节的输入、输出变量,每个环节可考虑列写一个方程;
2、根据各变量所遵循的基本定律得出的基本规律,列写各环节的原始方程式,并考虑适当简化和线性化;
3、将各环节方程式联立,消去中间变量,最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程;
4、将输出变量及各阶导数放在等号左边,将输入变量及各阶导数放在等号右边,并按降幂排列,最后将系统归化为具有一定物理意义的形式,成为标准化微分方程。
§ 线性系统的时域数学模型-微分方程
举例
例2-1:设有由电感L、电容C和电阻R组成的电路,如图所示。试求出以输出电压Uo为输出变量和以输入电压Ui为输入变量的微分方程。
(1)确定电路的输入量和输出量
解:
Ui为输入量,Uo为输出量
(2)依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程
(3)消去中间变量,得到U2与U1的关系方程
对(2)式求导得
代入(3)式并整理得
例2-2:如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受到外力F(t)作用产生位移y(t).试求该系统的微分方程。
解:
(1)确定输入量和输出量
输入量:外力F(t) 输出量:位移y(t)
(3)消去中间变量,得到输入与输出的关系方程
(2)列写原始微分方程
其中
-阻尼器的粘性摩擦力
-弹簧的弹力
(1)
将以上各式代入(1)式得
(4)整理且标准化
令- 时间常数;
- 阻尼比;
- 放大系数。
得
例2-3 设有带直流电动机系统,如图所示。试列写系统微分方程。
解:
(1)确定输入输出量
输入量ua,
设
输出量n,设
(2)列微分方程
-等效电路如图所示
电枢回路的微分方程:
-电势常数
电动机机械微分方程
(2-2)
(2-1)
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时:
其中
,通常忽略不计。
电动机电磁转距与电枢电流成正比
(3)消去中间变量
将(2-3)带入(2-4)得
(2-3)
(2-5)
(2-6)
则当电机空载时有
(2-4)
将(2-5),(2-6)带入(2-1)得
(2-7)
令:
--电动机电磁时间常数
--电动机机电时间常数
得
(2-8)
若以为输入,电动机转角为输出
将(2-9)(2-10)(2-11)带入(2-8)得
(2-9)
(2-10)
(2-11)
(2-12)