2009年全国各地中考数学压轴题参考答案及评分标准（二）.doc

2009年全国各地中考数学压轴题专辑
参考答案及评分标准(二)
:(1)当t=4-时,四边形FBCG为正方形. 1分
当0<t≤4时,四边形AEGD为平行四边形. 2分
(2)由题意知点D、C的坐标分别为(1,),(5,) 4分
∵抛物线经过原点O(0,0),∴设抛物线的解析式为y=ax 2+bx(a≠0).
将D、C两点坐标代入得
,解得 6分
∴抛物线的解析式为y=-x 2+x 7分
(3)存在.
D
C
B
(A)
F
E
G
O
x
y
Q
M
∵点Q在抛物线上,∴点Q(x,-x 2+x)
过点Q作QM⊥x轴于M,如图.
∵∠DAB=60°,CD=4,∴AB=5.
∴S△ABQ =AB·QM
=×5×|-x 2+x|
=|-x 2+x| 8分
∵EG的延长线与抛物线交于x轴的上方
∴-x 2+x>0,∴-x 2+x>0.
∴S△ABQ=(-x 2+x)
∵S梯形ABCD =(CD+AB)·BC=(4+5)×2×= 9分
若S△ABQ=S梯形ABCD,则(-x 2+x)=.
整理得x 2-6x+9=0,解得x=3. 10分
把x=3代入抛物线的解析式,得y=-×32+×3=,即MQ=.
∵∠QEM=60°,∴EM===. 11分
∴t=3-=(秒).
∴存在这样的时刻t,使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等,此时t=秒.
12分
:(1)A(0,2),B(4,0) 2分
图①
A
O
B
x
y
D
C
E
设直线AB的解析式为y=kx+b,则有
,解得
∴直线AB的解析式为y=-x+2. 3分
(2)ⅰ)①当点E在原点和x轴正半轴上时,重叠部分为△CDE,如图①
∴S=S△CDE =CE·CD=BC·CD
=(4-x)(-x+2)=x 2-2x+4
∵当点E与原点O重合时,CE=BO=2,∴2≤x<4. 4分
②当点E在x轴的负半轴上时,设DE与y轴交于点F,则重叠部分为梯形CDFO,如图②
图②
A
O
B
x
y
D
C
E
F
∵△FEO∽△ABO,∴==,∴OF=OE.
又∵OE=4-2x,∴OF=(4-2x)=2-x
∴S=S梯形CDFO =(OF+CD)·OC
=[2-x+(-x+2)]· x=-x 2+2x. 5分
∵当点C与原点O重合时,点的坐标为(0,0)
∴0<x<2. 6分
(0<x<2)
(2≤x<4)
综合①②得S= 7分
ⅱ)①∵当2≤x<4时,S=x 2-2x+4=(x-4)2,∴抛物线的对称轴为
x=4
∵抛物线开口向上,∴当2≤x<4时,S随x的增大而减小
∴当x=2时,S的最大值=(2-4)2=1. 8分
②当0<x<2时,S=-x 2+2x=-(x-)2+,∴抛物线的对称轴为x=
∵抛物线开口向下,∴当x=时,S有最大值为. 9分
综合①②,当x=时,S有最大值为. 10分
ⅲ)存在,点C的坐标为(,0)和(,0). 14分
附:详解:①当Rt△ADE以点A为直角顶点时,作AE⊥AB交x轴负半轴于点E,如图③
图③
A
O
B
x
y
D
C
E
∵Rt△AOE∽Rt△BOA,∴==
∵OA=2,∴OE=1
∵OE+2OC=4,∴OC=×(4-1)=
∴点C的坐标为(,0)
图④
A
O
B
x
y
D
C
E
②当Rt△ADE以点E为直角顶点时,如图④
∵∠AED=90°,∴∠AEO+∠DEC=90°
∵∠DEC=∠DBC,∴∠AEO+∠DBC=90°
∵∠BAO+∠DBC=90°,∴∠AEO=∠BAO
∴Rt△AOE∽Rt△BOA,∴==,∴OE=1
∴OC=1+×(4-1)=
∴点C的坐标为(,0)
综上所述,存在这样的点C,使得△ADE为直角三角形,点C的坐标为:
C1(,0)和C2(,0)
:(1)把x=0代入y=-2x+4,得y=4.
∴C(0,4). 1分
∵矩形OABC,∴BC=OA=3,AB=OC=4.
∴B(-3,4). 2分
(2)∵二次函数y=-x 2+bx+c的图象经过B、C两点
∴解得 4分
∴二次函数的解析式为y=-x 2-x+4. 6分
(3)证明:连结AC,在Rt△AOC中,AC===5.
∵y=-2x+4,当y=0时,x=2,∴D(2,0).
∵AD=OA+OD=3+2=5,∴AC=AD.
∵P是CD的中点,∴AP⊥CD. 9分
(4)存在. 10分
方法一:假设四边形APCM为矩形,过点M作MN⊥x轴于N.
在Rt△COD中,∵CD===.
∴MA=P