高中数学题库B函数对数与对数函数.doc

已知:.
(1)求; (2)判断此函数的奇偶性; (3)若,求的值.
答案:
(1)因为
所以=
(2)由,且
知
所以此函数的定义域为:(-1,1)
又
由上可知此函数为奇函数.
(3)由知得
且解得所以的值为:
来源:09年湖北宜昌月考一
题型:解答题,难度:中档阅读下列文字,然后回答问题:
对于任意实数,符号[]表示的整数部分,即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R(箭头向右)上[]是在点左侧的第一个整数点,当是整数时[]就是。这个函数[]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
从[]的定义可得下列性质:
与[]有关的另一个函数是,它的定义是-[] , 称为的“小数部分”,这也是一个很常用的函数。

问题①根据上文可知:的取值范围是;
[-]=____________________;
问题②求的和。
答案:
问题①:
的取值范围是[0 , 1 ] [-] = -6
问题②:
∴原式= =9
来源:1
题型:解答题,难度:较难
定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x,y∈R都有f(x+y)= f(x)+ f(y).
(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
答案:
(1)证明:f(x+y)=f(x)+ f(y) (x,y∈R), ①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得 f(x-x)= f(x)+ f(-x),又f(0)=0,则有
0= f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数.
f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k·3<-3+9+2,
3-(1+k)·3+2>0对任意x∈R成立.
令t=3>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.
R恒成立.
命题意图与思路点拨::问题(2)(x)是奇函数且在x∈R上是增函数,把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t>(t):
分离系数由k·3<-3+9+2得
上述解法是将k分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、新颖.
来源:1
题型:解答题,难度:较难
设x,y,z∈R+,且3x= 4y= 6z。
(1)求证:;(2) 比较3x,4y,6z的大小
答案:
(1)证明:设3x= 4y= 6z=k (k>0),则
∴
∴
(2)同(1),;;
∵,又∵x,y,z∈R+ 既k>1
∴ 3x<4y<6z
来源:1
题型:解答题,难度:较难
已知函数对任意实数x都有,且当时,。
⑴当时,求的表达式。
⑵证明是偶函数。
⑶试问方程是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由。
答案:
①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略⑶方程在[1,4]上有4个实根
来源:
题型:解答题,难度:较难
若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求证:y=f -1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
答案:
设x1<x2, 且y1=f -1(x1), y2=f -1(x2),则x1=f(y1), x2=f(y2),若y1≥y2,则因为f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,所以x1≥x2与假设矛盾,所以y1<y2。
即y=f -1(x)在(-∞,+ ∞)递增。
来源:08年数学竞赛专题三
题型:解答题,难度:中档
已知函数,当点M(x,y)在的图象上运动时,点N()在函数的图象上运动.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若函数的极小值为4,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若在时,恒成立,求参数a的取值范围.
答案:
(Ⅰ).
(Ⅱ)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅲ).
来源:
题型:解答题,难度:较难
设f(x)=|lgx|,实数a, b满足0<a<b, f(a)=f(b)=2f,求证:
(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3<b<4.
答案:
证明:(1)依题设,有|lga|=|lgb|,又a<b,故lga=-lgb,可得ab=1,从而0<a<1<b.
因为f(b)=2f, 故|lgb|=2, 又a+b≥