应用柯西不等式证明竞赛中的不等式.pdf

数学通讯一����年第�期�下半月��·课外园地·�
应用柯西不等式证明竞赛中的不等式�
蔡玉书�
�江苏省苏州市第一中学,��������
柯西不等式是一个重要的不等式,它结构对称,�∈��,且���,���球证:��������
近年来,在国内外的数学竞赛题中,越来越多地出现�
与之有关的题目,灵活而巧妙地应用柯西不等式,往���.�
往使一些难题迎刃而解,甚至收到出奇制胜、事半�
功倍的效果.�证明�由均值不等式得�≤羔�,�≤�
柯西不等式设��,口�,⋯,��;�����,⋯��是�丁���
,�≤字,及�������放�≤����
两组实数,则有���‘��;≥������.其中等号���.�
成立当且仅当��:盘�:⋯:�,����:��:⋯:��.�由柯西不等式得�
推论��设��,��,⋯,�,�是正实数,则�����
������������
��
盘��.一�����云�����...�����≥���其中等号成�≤�������.����������������
立当且仅当������⋯���.�������������‘�。�
�������������
�.��十五.�:������������
推论��设��,��,⋯,�是实数,则�
,耋口;�
�
≥�����.其中等号成立当且仅当口��盘��⋯��
,����������十�置����‘���卫��。�’�
�”.�≤������字�字�孚·���
一:至�±�±兰�±至��±丝±兰兰��
变形����∑���’��‘�耋∑���扫�≥��耋∑���嘶��⋯��;���
”,了�”���±丝±婴��
变形��∑��∑�≥�∑盘���.�。���
����。���������
下面从国内外数学竞赛题中列举数例以示应�≤���
用.�
��
例�������年伊朗数学奥林匹克试题�如果�
�,�,�≥�,且�������,证明:�厂�歹�≥���移�
、�����/厂���.�所以,�塾���.:�.�
�/������√��������������
证明注意到�十�十�:�,由柯西不等式得�
��例���������中国西部数学奥林匹克试题��
十���≥历��求证:对任意正实数日,�,�,都有���南��
历��,�
而�����:�~�������:�丽��高≤�.�
��������,一�广�����
�,�
�/口����
所以,不等式得证.�
、丽//��������/ �����������
例�������年国家集训队考试题�设�,�,������口������������
�
数学通讯一����年第�期�下半月��·课外园地·�
��:一���一������������������—���≥�,所�
所以�
以原不等式得证.�
⑤�
等号成立当且仅当�����一�及卫���】蓦忐≥�
且�由不等式⑤得�
志:���一�,及���������∑���������
�����������一�一���