正余弦定理知识点总结及高考考试题型.doc

三角函数五——正、余弦定理
一、知识点
(一)正弦定理:其中是三角形外接圆半径.
变形公式:(1)化边为角:
(2)化角为边:
(3)
(4).
3、三角形面积公式:
4、正弦定理可解决两类问题:
(1)两角和任意一边,求其它两边和一角;(解唯一)
(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. (解可能不唯一)
(二)余弦定理:
由此可得:.
注:>A是钝角;=A是直角;<A是锐角;
2、余弦定理可以解决的问题:
(1)已知三边,求三个角;(解唯一)
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(解唯一):
(3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一)
三、正、余弦定理的应用
射影定理:
有关三角形内角的几个常用公式

解三角形常见的四种类型
已知两角与一边:由及正弦定理,可
求出,再求。
已知两边与其夹角,由,求出,再由余弦定理,
求出角。
(3)已知三边,由余弦定理可求出。
(4)已知两边及其中一边的对角,由正弦定理,求出另一边的
对角,由,求出,再由求出,而通过
90°
90°
90°
一解
一解
一解
无解
无解
一解
两解
无解
无解
一解
无解
求时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表:

二、例题讲解
(一)求边的问题
(2009广东文)已知中,的对边分别为若且,则( )
+ — D.
【答案】 A
【解析】
由可知,,所以,
由正弦定理得,故选A
(2013·新课标Ⅰ高考文科·T10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为,,,,,c=6,则( )

【解题指南】由,利用倍角公式求出的值,然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.
【解析】,所以,解得,
方法一:因为△ABC为锐角三角形,所以,.
由正弦定理得,.
,.又,
所以,
.由正弦定理得, ,解得.
方法二:由余弦定理,,则,解得
(2011浙江)在中,,则( )
A.- B. C. -1 D. 1
【答案】D
【解析】∵,∴,
∴.
9、(2011安徽)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,,求边BC上的高.
【解析】:∵A+B+C=180°,所以B+C=A,
又,∴,
即,,
又0°<A<180°,所以A=60°.
在△ABC中,由正弦定理得,
又∵,所以B<A,B=45°,C=75°,
∴BC边上的高AD=AC·sinC=
在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.
(1)求角A的大小.
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.
【解析】(1)由2asinB=b及正弦定理,得sinA=,
因为A是锐角,所以.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-osA,得
b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,
由三角形面积公式S=bcsinA,得△ABC的面积为.
6、(2012重庆理)设的内角的对边分别为,且则______
【答案】
【解析】由,
由正弦定理得,
由余弦定理
.
4、(2012福建文)在中,已知,则_______.
【答案】
【解析】由正弦定理得
5、(2011北京)在中,若,则.
【答案】
【解析】:由正弦定理得又所以
1、在△ABC中,角的对边分别为,,,则( )
A、1 B、2 C、 D、
在△ABC中,,30°,△ABC的面积为,那么( )
A、 B、 C、 D、
3、在△ABC中,角所对的边长分别为,若120°,,则( )
A、 B、 C、 D、与的大小关系不能确定
5、若△ABC的周长等于20,面积是,60°,则边的长是( )
A、5 B、6 C、7 D、8
7、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为( ) A、52 B、 C、16 D、4
11、=5,,sinA=,则___________________.
12、若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于
13、如图,在△ABC中,若,,则。
(二)求角的问题
(2013·北京高考文科·T5)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=( )
A. B. C. 【解析】选B。
2012天津理)在中