三角形、四边形难题.doc

三角形、四边形难题
(2000年全国初中数学竞赛)1、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6,∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD的面积等于________。
【答】66+6(平方单位)。作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC=6,∠BCD=45°,得AE=BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,因为AE=6得DE=2,AB=EF=8,DC=2+8+6=14+2,∴。
(2002年全国初中数学竞赛)2、如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则等于()
A、 B、 C、 D、
【解答】 D
(2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛),在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)当点D在斜边AB内部时,求证:.
(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
解:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得
所以.
因为DE∥AC,所以.
故.
(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0,CD=AC,BD=AB.
所以,
.
从而第(1)小题中的等式成立.
(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立.
作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则
而,
所以.
〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清者不扣分).
(2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛)4、如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长度为。
答:4或6
解:如下图:延长DA至M,使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM,, 所以BC=BG. 又,
∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.
∴ BM=BE,,
∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.
设CE=x,则AG=,AD=,DE=.
在Rt△ADE中,,
∴,
即,
解之,得,.
故CE的长为4或6.
(2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛),有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6. 将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )

【解答】 A
(“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛),菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).
(第6题)
(A) (B) (C)1 (D)2
【解答】 A.
(“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛),在直角梯形ABCD中,AB∥DC,. 动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).
(A)10 (B)16 (C)18 (D)32
(第7题)
图2
图1

【解答】B.
(“《