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高等数学上册复****要点
函数与极限
函数
函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
反函数、复合函数、函数的运算;
初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;
函数的连续性与间断点;
函数在连续
第一类:左右极限均存在.
间断点可去间断点、跳跃间断点
第二类:左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
极限
定义
数列极限
函数极限
左极限: 右极限:
极限存在准则
夹逼准则:
1)
2)
单调有界准则:单调有界数列必有极限.
无穷小(大)量
定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量.
无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小
Th1 ;
Th2 (无穷小代换)
求极限的方法
单调有界准则;
夹逼准则;
极限运算准则及函数连续性;
两个重要极限:
b)
无穷小代换:()
()
()
导数与微分
导数
定义:
左导数:
右导数:
函数在点可导
几何意义:为曲线在点处的切线的斜率.
可导与连续的关系:
求导的方法
导数定义;
基本公式;
四则运算;
复合函数求导(链式法则);
隐函数求导数;
参数方程求导;
对数求导法.
高阶导数
定义:
Leibniz公式:
微分
定义:,其中与无关.
可微与可导的关系:可微可导,且
微分中值定理与导数的应用
中值定理
Rolle罗尔定理:若函数满足:
1); 2); 3);
则.
Lagrange拉格朗日中值定理*:若函数满足:
1); 2);
则.
Cauchy柯西 中值定理:若函数满足:
1); 2);3)
则
洛必达法则
Taylor公式
单调性及极值
单调性判别法:,,则若,则单调增加;则若
,则单调减少.
极值及其判定定理:
必要条件:在可导,若为的极值点,则.
第一充分条件:在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为极小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点.
第二充分条件:在处二阶可导,且,,则
①若,则为极大值点;②若,则为极小值点.
凹凸性及其判断,拐点
1)在区间I上连续,若,则称在区间I 上的图形是凹的;若,则称在区间I 上的图形是凸的.
2)判定定理:在上连续,在上有一阶、二阶导数,则
a) 若,则在上的图形是凹的;
b) 若,则在上的图形是凸的.
3)拐点:设在区间I上连续,是的内点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点.
不等式证明
利用微分中值定理;
利用函数单调性;
利用极值(最值).
方程根的讨论
连续函数的介值定理;
Rolle定理;
函数的单调性;
极值、最值;
凹凸性.
渐近线
铅直渐近线:,则为一条铅直渐近线;
水平渐近线:,则为一条水平渐近线;
不定积分
概念和性质
原函数:在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数.
不定积分:在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.
基本积分表(P188,13个公式);
性质(线性性).