2017 2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系学案北师大版必修2.doc

第1课时空间直角坐标系及点的坐标
[核心必知]

(1)右手直角坐标系.
在空间直角坐标系中,四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向
旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指指向z轴正向,这样的坐标系称右手系.
(2)坐标系中相关概念.
如图所示的坐标系中,O叫作原点,x,y,,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面.

(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,第一个是x坐标,第二个是y坐标,第三个是z坐标.
(2)空间中的点与一个三元有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系.
[问题思考]
,是否任意两坐标轴都画成夹角为90°?
提示:,任意两坐标轴的夹角都是90°,但在画直观图时通常画∠xOy=135°,使x轴、y轴确定的平面水平,∠yOz=90°,以表示z轴竖直.
(x0,y0,z0)的位置的方法有哪些?
提示:确定点的位置一般有三种方法:
(1)在x轴上找点M1(x0,0,0),过M1作与x轴垂直的平面α;再在y轴上找点M2(0,y0,0),过M2作与y轴垂直的平面β;再在z轴上找点M3(0,0,z0),过M3作垂直于z轴的平面γ,于是α,β,γ交于一点,该点即为所求.
(2)确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由z坐标确定点(x0,y0,z0)的位置.
(3)以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点.
讲一讲
­A1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标.
[尝试解答] 如图,以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O­xyz.
∵长方体的棱长AD=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4,
显然D(0,0,0),A在x轴上,∴A(3,0,0);
C在y轴上,∴C(0,5,0);D1在z轴上,
∴D1(0,0,4);B在xOy平面内,
∴B(3,5,0);
A1在xOz平面内,∴A1(3,0,4);C1在yOz平面内,
∴C1(0,5,4).
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0),
∴B1的横坐标为3,纵坐标为5,
∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4),
∴B1的竖坐标为4,
∴B1(3,5,4).

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
(2)充分利用几何图形的对称性.
,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影,(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.
练一练
,棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标.
解:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,E点在平面xDy中,且|EA|=.
∴E点的坐标为.
∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1),故F点坐标为.
同理可得G点坐标为.
讲一讲
(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
[尝试解答] 如图所示,过A作AM⊥xOy交平面于M,并延长到C,使AM=CM,则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1).
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B,使AN=(1,-2,1).∴A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1).
A(1,2,-1)关于x轴对称的点B(1,-2,1).
点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点:
(1)P(x,y,z)关于原点对称,P1(-x,-y,-z);
(2)P(x,y,z)关于x轴对称,P2(x,-y,-z);
P(x,y,z)P3(-x,y,-z);
P(x,y,z)P4(-x,-y,z).
记忆口诀:“关于谁对称谁不变,其余相反”.
(3)P(x,y,z)P5(x,y,-z);
P(x,y,z)P6(-x,y,z);
P(x,y,z)P7(x,-y,z).
练一练
­P1P2P3P4的所有棱长均为a,建立适当的坐标系,求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标.
解:以底面中心作为坐标原