北京交通大学历年试题几何与代数.doc

北京交通大学
2007-2008学年第一学期《几何与代数(B)I 》期末考试试卷(A)
答案及评分标准
一.(本题满分30分,每空3分)请把答案填在空中.
1、已知,,, 且,则.
2、若有非零解,则 1,-2 .
.,,共线,则的值分别是.
4. 由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是
,则 3 .
6. 设为阶方阵,的行列式为的伴随矩阵,则的伴随矩阵
7. 向量组的一个极大线性无关组是,
8. 通过点且与直线垂直的平面方程是.
9. 设A是3阶方阵,1,2,3是A的3个特征值。则 24 .
10. 已知三阶方阵。则.
二. (10分)计算n阶行列式
解
....8分
....10分
三.(12分) 当为何值时,线性方程组
无解,有惟一解,有无穷多解?并在有无穷多解的情况下,写出它的所有解(用导出组基础解系表示)。
解将方程组的增广矩阵化为阶梯形:
....3分
(1)当时,方程组有唯一解。....5分
(2)当时,方程组的增广矩阵可化为
(i)当时,方程组无解; ....8分
(ii)当时,方程组有无穷多解;此时方程组的增广矩阵可化为
一个特解是,导出组的基础解系是
此时方程组的通解是
....12分
四.(10分)试求直线在平面:上的投影直线方程,并将它写为对称式方程
解过直线的平面束方程...5分
与垂直的平面是。...7分
所求的投影直线方程为...8分
对称式方程为。...10分
五.(12分)设。求满足的矩阵X,其中是的伴随矩阵,是的逆矩阵。
解由知....4分
又
故
由, ....10分
所以....12分
六.(13分) 已知三元二次型
用正交变换化二次型为标准形,并写出相应正交矩阵;
指出方程表示何种二次曲面。
解(1)二次型矩阵为
特征多项式
解得特征值为。….4分
对应三个特征值解得三个两两正交的特征向量
….7分
将它们单位化为
…8分
作矩阵
…9分
则是正交矩阵。经正交变换,可将二次型化为
…11分
(2)可化为
它是一个椭圆柱面。……13分
七. (8分) 取何值时,三元实二次型
是正定二次型?
解(1)二次型矩阵为
……2分
二次型正定当且仅当它的矩阵的各阶顺序主子式大于0。即
……5分
解得……8分
八. 证明题(两题任选一题)(5分)
(1)设是阶方阵,且。证明

(2)设是阶单位矩阵,是阶实矩阵。证明是正定矩阵,其中是的转置。
证明(1)由,知。……2分
这样。……..4分
因此。……5分
(2)首先是对称矩阵。关于任何非零实向量,记。则
…….2分
……4分
所以是正定二次型,从而是正定矩阵。…….5分
北京交通大学
2008-2009学年第一学期《几何与代数(B)I 》期末考试试卷(A)
答案及评分标准
一.(本题满分30分,每空3分)请把答案填在空中.
1 已知向量满足的夹角为,则以向量
为邻边的平行四边形的面积是.
2 当有非零解,则 1/4 .
3 若平面经过点和轴,则此平面方程为.
4 由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是.
5 已知3阶矩阵
且,则 4 .

7 已知向量可由向量组线性表示, 则向量组的秩为 2 .
8 设为3阶方阵且行列式,(其中为3阶单位阵)。则 36 .(其中为3阶方阵)。
9 已知四阶行列式. 设为行列式中第行第元素的代数余子式,则 0
10 一个动点与的距离是此动点到平面距离的一半,则此动点的轨迹方程为:.
二. (10分)计算n阶行列式
解(1)如果,任意两列对应成比例,故----------2分
(2) 如果, 第i行分别减去第一行,(i=2,3,…,n+1)得
(箭形行列式)-----------3分
-----------3分
三.(12分) 当为何值时,线性方程组
无解,有惟一解,有无穷多解?在有无穷多解的情况下,求出它的通解。
解:此线性方程组的增广矩阵为
------------4分
所以时,系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于3,所以
有惟一解。---------2分
当时方程组的增广矩阵可化为:
,故方程组有无穷多组解:通解为
------------------4分
当时,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,无解。
------------2分