高中数学竞赛训练题二.doc

高中数学竞赛训练题二
姓名:________________ (训练时间80分钟) 得分:___________________
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。)
,则.
,,则的值域为____________________.
,若,则中最大的是______________________.
△ABC的外心,,若,且,则_____________________.
,O为底面ABCD的中心,M,.
,且,,则符合条件的共有组.(注:顺序不同视为不同组.)
,则的最小值为________________________--.
,集合的所有元素的和是______________________.
二、解答题(本题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
,,其中.
(1)证明:对一切,有;
(2)证明:.
:与直线l:没有公共点,设点P为直线l上的动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.
(1)证明:直线AB恒过定点Q;
(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点,证明:.
,:
.
答案:(09湖北)
; 2. 3. 4. 5. 6. 1600
.
9证明(1)在已知关系式中,令,可得;
令,可得①
令,可得②
由①得,
,,,代入②,化简得. ------------7分
(2)由,得,故数列是首项为,公差为2的等差数列,因此.
于是.
因为,所以
--14分
10证明(1)设,,所以.
于是抛物线C在A点处的切线方程为,即.
设,,同理有.
所以AB的方程为,即,所以直线AB恒过定点. ----------------------7分
(2)PQ的方程为,与抛物线方程联立,消去y,得
.设,,则
①
要证,只需证明,
即②
由①知,
②式左边=
.
故②式成立,从而结论成立. -----------15分
11证明因为,要证原不等式成立,等价于证明
①----------------5分
事实上,
②---10分
由柯西不等式知

③----------15分
又由知
④
由②,