高中数学竞赛训练题四.doc

高中数学竞赛训练题四
姓名:________________ (训练时间80分钟) 得分:___________________
填空题(每小题7分,共70分)
,则______________;
,,则的大小关系是_________________;
,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周)。若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为_____________________;
,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是________________________;
5.= 。
,满足,则
= 。
,则。
8. 设实系数一元二次方程有两个相异实根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是。
,直线与
的交点在直线上,则。
、AC上分别取D、E两点,使沿线段DE折叠三角形时,顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为。
(共三题,第9题10分,第10题、第11题每题20分,满分共计50分)
:(),其离心率为,两准线之间的距离为。(1)求之值;
(2)设点A坐标为(6, 0),B为椭圆C上的动点,以A为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P按顺时针方向排列),求P点的轨迹方程。
。
,记为数列的前n项和,证明:
1)若,且,则;
2)若则。
参考答案
:因为,所以有.
:当时,,,。
又因为。所以。
:建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ,P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP,所以
,即,此为P点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为。
:由已知条件可知,,函数图象与轴交点的纵坐标为。令,则
。
5解:根据题意要求,,。于是有。因此
。因此答案为 1。
6解:显然,由于,有
。于是有,故
。
: 。
: 根据题意,设两个相异的实根为,且,则
,。
于是有,也即有。
故有,即取值范围为。
:由已知可知,可设两直线的交点为,且为方程
,
的两个根,即为方程
的两个根。因此,
即0。
:设,作△ADE关于DE的对称图形,A的对称点G落在BC上。在△DGB中,
当时,即。
11解:(1)设c为椭圆的焦半径,则。
于是有a=5,b=3。
(2) 解法一:设B