初中数学竞赛辅导资料 （初三上部分，共16份）含参考答案.doc

初中数学竞赛辅导资料(45)
一元二次方程的根
甲内容提要
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c的值确定的. 根公式是:x=. (b2-4ac≥0)
根的判别式
实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是:
b2-4ac≥0.
有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是:
b2-4ac是完全平方式方程有有理数根.
③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2-4q是整数的平方数.
设x1, x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根,那么
ax12+bx1+c=0 (a≠0,b2-4ac≥0), ax22+bx2+c=0 (a≠0, b2-4ac≥0);
x1=, x2= (a≠0, b2-4ac≥0);
韦达定理:x1+x2= , x1x2= (a≠0, b2-4ac≥0).
方程整数根的其他条件
整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是:x1是c的因数.
特殊的例子有:
C=0x1=0 , a+b+c=0x1=1 , a-b+c=0x1=-1.
乙例题
已知:a, b, c是实数,且a=b+c+1.
求证:两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根.(1990年泉州市初二数学双基赛题)
证明(用反证法)
设两个方程都没有两个不相等的实数根,
那么△1≤0和△2≤0.
即
由①得b ≥,b+1 ≥代入③,得
a-c=b+1≥, 4c≤4a-5 ④
②+④:a2-4a+5≤0,
即(a-2)2+1≤0,这是不能成立的.
既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.
∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根.
本题也可用直接证法:当△1+△2>0时,则△1和△2中至少有一个是正数.
已知首项系数不相等的两个方程:
(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)
有一个公共根. 求a, b的值.
(1989年全国初中数学联赛题)
解:用因式分解法求得:
方程①的两个根是 a和; 方程②两根是b和.
由已知a>1, b>1且a≠b.
∴公共根是a= 或b=.
两个等式去分母后的结果是一样的.
即ab-a=b+2, ab-a-b+1=3, (a-1)(b-1)=3.
∵a,b都是正整数, ∴; 或.
解得; 或.
又解: 设公共根为x0那么
先消去二次项:
①×(b-1)-②×(a-1) 得
[-(a2+2)(b-1)+(b2+2)(a-1)]x0+(a2+2a)(b-1)-(b2+2b)(a-1)=0.
整理得(a-b)(ab-a-b-2)(x0-1)=0.
∵a≠b
∴x0=1; 或(ab-a-b-2)=0.
当x0=1时,由方程①得 a=1,
∴a-1=0,
∴方程①不是二次方程.
∴x0不是公共根.
当(ab-a-b-2)=0时, 得(a-1)(b-1)=3 ……解法同上.
例3. 已知:m, n 是不相等的实数,方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.
求:m+n 的值. (1986年泉州市初二数学双基赛题)
解:方程①两根差是
===
同理方程②两根差是
=
依题意,得=.
两边平方得:m2-4n=n2-4m.
∴(m-n)(m+n+4)=0
∵m≠n,
∴ m+n+4=0, m+n=-4.
例4. 若a, b, c都是奇数,则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.
证明:设方程有一个有理数根(m, n 是互质的整数).
那么a()2+b()+c=0, 即an2+bmn+cm2=0.
把m, n按奇数、偶数分类讨论,
∵m, n互质,∴不可能同为偶数.
①当m, n同为奇数时,则an2+bmn+cm2是奇数+奇数+奇数=奇数≠0;
②当m为奇数, n为偶数时,an2+bmn+cm2是偶数+偶数+奇数=奇数≠0;
当m为偶数, n为奇数时,an2+bmn+cm2是奇数+偶数+偶数=奇数≠0.
综上所述
不论m, n取什么整数,方程a()2+b()+c=0都不成立.
即假设方程有一个有理数根是不成立的.
∴当a, b, c都是奇数时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.
例5. 求证:对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k (k≥1). (1983年福建省初