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插值与拟合
数学与生物数学教研室宋丽娟
内容提要
1. 引言


问题:由一批数据(采样实测,或设计给定)
(xi , yi) i=1,2,…,n
未知
如何确定一个函数, 使得.
方法:构造函数
通过给定的所有数据点,
称函数插值.
反映对象整体的变化趋势,
称曲线拟合.
意义:
利用对的未测点(x*, y*)给出估计,
或对x与y的变化规律给出粗略的数学描述.
§1 引言
插值
拟合
引例1 在1-12的11小时内, 每隔1小时测量一次温度, 测得的温度依次为:5, 8, 9, 15, 25, 29, 31, 30, 22, 25,27, 24. 试估计每隔1/10小时的温度值.
§ 插值问题
插值问题的基本提法:
当数据量不够, 需要补充, 且认定已有数据可信时, 通常利用函数插值方法建立插值模型.
一维插值的定义






求任一插值点
处的插值
已知:由一批数据(采样实测,或设计给定)
(xi , yi) i=1,2,…,n
构造一个(相对简单的)函数
通过全部节点, 即
再用
计算插值, 即






引例2在某化学反应中, 已知生成物的浓度与时间有关. 今测得一组数据如下:
时间t(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
浓度y103








时间t(分)
9
10
11
12
13
14
15
16
浓度y103








§ 拟合问题
根据这些数据, 我们希望寻找一个 y = f(t) 的近似表达式.
拟合问题的基本提法:
数据量较大或者测量值与真实值有误差, 这时一般用曲线拟合的方法解决问题.
但是
①n很大;
② yi 本身是测量值, 不准确, 即 yi  f (xi)
这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi)  yi 总体上尽可能小.
最常见做法:
使最小
仍然是已知 x1 … xn ; y1 … yn,
求一个简单易算的近似函数 P(x)  f(x).
拟合问题的定义: