自动控制原理 经典例题详解 2-9章.doc

第2章控制系统的数学模型 1
第3章线性系统的时域分析法 7
第4章线性系统的根轨迹法 16
第5章线性系统的频域分析法 27
第6章线性系统的校正方法 40
第7章线性离散系统的分析与校正 48
第8章非线性控制系统分析 62
第9章线性系统的状态空间分析与综合 73
第2章控制系统的数学模型
例1 设齿轮系如图2-1所示。图中和为齿轮和轴的转动惯量,和为齿轮轴与轴承的粘性摩擦系数,和为各齿轮轴的角位移,为电动机的输出转矩,和分别为轴1传送到齿轮上的转矩和传送到轴2上的转矩,齿轮1和齿轮2的减速比为。如果不考虑齿轮啮合间隙和变形,试求输入量是转矩,输出是转角的运动方程。
图2-1
解:
1. 由已知,齿轮1和齿轮2的减速比为
(2-1)
在齿轮传动中,两个啮合齿轮所做的功相同,因此有
(2-2)
根据牛顿第二定律,齿轮1的运动方程为
(2-3)
齿轮2的运动方程为
(2-4)
由(2-1)、(2-2)、(2-3)和(2-4)式,消去中间变量、、,得系统的运动方程为
例2 求取图2-2所示电路的传递函数。图中为放大器的增益。
图2-2
解:
考虑放大器对电路的负载效应,即电路的输出端电阻应为与的并联。即
利用复阻抗的概念,电路的传递函数为
电路与放大器串接后的传递函数为
例3 已知系统的传递函数为
系统初始条件为,试求系统的单位阶跃响应。
解:
考虑到传递函数是在零初始条件下定义的,故有系统的微分方程为
将微分方程两边取拉氏变换,得到变换方程
由已知条件,,及,变换方程可简化为
显然,通过拉氏变换将微分方程变成了代数方程。解变换方程,求出输出变量的拉氏变换表达式
是变量的有理分式函数,可用部分方式法,将的分母多项式进行因式分解,分解为部分分式
待定系数可由下式求出
故有
将输出的拉氏变换式进行拉氏反变换即可得到微分方程的解,即系统的单位阶跃响应
例4 分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3所示系统的传递函数。
图2-3
解:
用梅逊公式求取系统传递函数。
由图2-3知,系统有1个回路,有2条前向通路。因此有
根据梅逊公式,系统的传递函数为
例5 系统微分方程组如下:
式中、、、均为常数。试建立以、及为输入量、为输出量的系统动态结构图。
解:
1. 在零初始条件下,对微分方程组进行拉氏变换,得到变换方程组
2. 根据变换方程组画出各子方程结构图2-4。
图2-4
3. 按照系统中各变量的传递顺序,把相同的量连起来,便可得到系统的结构图,如图2-5所示。
图2-5
例5 系统信号流图如图2-6所示,试求传递函数、和。
图2-6
解:
由图2-6可以看出,共有4个回路,一对两两不接触回路,故有
,,,
1. 求传递函数。
从到的前向通路共2条,故有
,
,
2. 求传递函数。
因不是输出节点,而是混合节点,故可将用一条支路增益为1的支路引出,使该混合节点变为输出节点,所以可以直接利用梅逊公式求出。
从到的前向通路共1条,故有
,
3. 求传递函数。
因不是输入节点,而是混合节点,故不能直接用梅逊公式求传递函数。用梅逊公式先求出和。
第3章线性系统的时域分析法
例1 一个温度计插入100℃水中测温,经3min后,指示95℃,如果温度计可视作一个一阶环节且,求:
1. 时间常数;
2. 时,单位阶跃响应是多少?
3. 如果给该容器加热,使容器内水温以℃的速度匀速上升,当定义时,温度计的稳态指示误差有多大?
解:
1. 求时间常数。
解法1. 根据调节时间的定义,有
解法2. 依题意,一阶环节的标准数学模型为
输入信号为,即,故有
对其进行拉氏反变换,有
依题意
解得
2. 输入信号为,即,则有
时
3. 水温以℃的速度匀速上升,表示输入信号为斜坡信号,即。一阶系统稳定,根据误差的定义,有
因为在平面右半平面及虚轴上(除原点外)解析,满足终值定理的应用条件,故有
∞
℃
例2 已知二阶系统的单位阶跃响应为
试求系统的超调量、峰值时间和调节时间。
解:
为便于计算,先求出正弦函数的拉氏变换,有
对单位阶跃响应进行拉氏变换,得
单位阶跃输入,系统的传递函数为
典型二阶系统的传递函数为
比较以上二式,有,,。则有
超调量
峰值时间
调节时间
例3 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性,并指出根的分布情况。
1.
2.
3.
4.
解:
1. 由系统特征方程
列写劳斯表
由劳斯表可知,第一列元符号全部为正,所以系统稳定,系统特征根均位于左半平面。
2. 由系统特征方程
列写劳斯表
由劳斯表可知,第一列